Главная Войти О сайте

Как найти площадь сечения шара

Пусть дан шар с радиусом R, который на некотором расстоянии b от центра пересекает плоскость. Расстояние b меньше или равно радиусу шара. Требуется найти площадь S получающегося при этом сечения.Как найти площадь сечения шара

Очевидно, что если расстояние от центра шара до плоскости равно радиусу плоскости, то плоскость касается шара только в одной точке, и площадь сечения будет равна нулю, то есть если b = R, то S = 0. Если b = 0, то секущая плоскость проходит через центр шара. В этом случае сечение будет представлять собой круг, радиус которого совпадает с радиусом шара. Площадь этого круга будет, согласно формуле, равна S = πR^2.

Эти два крайних случая дают границы, между которыми всегда будет лежать искомая площадь: 0 < S < πR^2. При этом любое сечение шара плоскостью всегда является кругом. Следовательно, задача сводится к тому, чтобы найти радиус окружности сечения. Тогда площадь этого сечения вычисляется по формуле площади круга.

Поскольку расстояние от точки до плоскости определяется как длина отрезка, перпендикулярного плоскости и начинающегося в точке, второй конец этого отрезка будет совпадать с центром окружности сечения. Такой вывод вытекает из определения шара: очевидно, что все точки окружности сечения принадлежат сфере, а следовательно, лежат на равном расстоянии от центра шара. Это значит, что каждая точка окружности сечения может считаться вершиной прямоугольного треугольника, гипотенузой которого служит радиус шара, одним из катетов — перпендикулярный отрезок, соединяющий центр шара с плоскостью, а вторым катетом — радиус окружности сечения.

Из трех сторон этого треугольника заданы два — радиус шара R и расстояние b, то есть гипотенуза и катет. По теореме Пифагора длина второго катета должна быть равна √(R^2 - b^2). Это и есть радиус окружности сечения. Подставляя найденное значение радиуса в формулу площади круга, легко прийти к выводу, что площадь сечения шара плоскостью равна:S = π(R^2 - b^2).В частных случаях, когда b = R или b = 0, выведенная формула полностью согласуется с уже найденными результатами.


CompleteRepair.Ru