Как найти площадь трапеции, если известны диагонали
Содержание:- Трапеция: определение и основная формула площади
- Общая формула площади для произвольного четырехугольника
- Доказательство формулы площади трапеции
- Площадь трапеции как сумма площадей треугольников
- Важные теоремы
- Особые свойства трапеции
Трапеция: определение и основная формула площади
Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого друг другу параллельны. Основная формула площади трапеции - произведение полусуммы основания на высоту.
Общая формула площади для произвольного четырехугольника
В некоторых геометрических задачах на нахождение площади трапеции использовать основную формулу невозможно, но даны длины диагоналей. В таких случаях можно использовать общую формулу площади для произвольного четырехугольника: S=1/2•AC•BD•sinφ, где AC и BD - длины диагоналей, φ - угол между диагоналями.
Доказательство формулы площади трапеции
Если требуется доказать или вывести формулу площади для трапеции, можно разбить ее на 4 треугольника. Затем записать формулу площади каждого из треугольников (1/2 произведения сторон на синус угла между ними), используя угол, образуемый пересечением диагоналей. Далее, используя свойство аддитивности площади, можно записать площадь трапеции как сумму площадей образующих ее треугольников. Сгруппировав слагаемые и вынеся множитель 1/2 и синус за скобки, можно получить исходную формулу площади четырехугольника.
Площадь трапеции как сумма площадей треугольников
Вообще, полезно рассматривать площадь трапеции как сумму площадей составляющих ее треугольников. Зачастую это является ключом к решению задачи.
Важные теоремы
Если числовое значение угла между диагоналями не задано в явном виде, могут пригодиться следующие теоремы:
1) Сумма всех углов треугольника равна 180°. В общем случае, сумма всех углов выпуклого многоугольника равна 180°•(n-2), где n - число сторон многоугольника.
2) Теорема синусов для треугольника со сторонами a, b и c: a/sinA=b/sinB=c/sinC, где A, B, C - углы, лежащие напротив сторон a, b, c соответственно.
3) Теорема косинусов для треугольника со сторонами a, b и c: c²=a²+b²-2•a•b•cosα, где α - угол треугольника, образованный сторонами a и b.
Особые свойства трапеции
Обратите внимание на особые свойства трапеции, указанные в условии задачи. Если дана равнобедренная трапеция (боковые стороны равны), можно использовать то свойство, что диагонали в ней равны.
Если дана прямоугольная трапеция (один из углов трапеции прямой), можно рассмотреть прямоугольные треугольники, находящиеся внутри трапеции. Вспомните, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его сторон, образующих прямой угол.