Главная Войти О сайте

Как найти площадь трапеции, если известны диагонали

Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого друг другу параллельны. Основная формула площади трапеции - произведение полусуммы основания на высоту. В некоторых геометрических задачах на нахождение площади трапеции использовать основную формулу невозможно, но даны длины диагоналей. Как быть?Как найти площадь трапеции, если известны диагонали

Общая формула

Используйте общую формулу площади для произвольного четырехугольника:

S=1/2•AC•BD•sinφ, где AC и BD - длины диагоналей, φ - угол между диагоналями.

Если требуется доказать или вывести эту формулу, разбейте трапецию на 4 треугольника. Запишите формулу площади каждого из треугольников (1/2 произведения сторон на синус угла между ними). Берите тот угол, который образуется пересечением диагоналей. Далее используйте свойство аддитивности площади: запишите площадь трапеции как сумму площадей образующих ее треугольников. Сгруппируйте слагаемые, вынеся множитель 1/2 и синус за скобки (учитывая, что sin(180°-φ)=sinφ). Получите исходную формулу площади четырехугольника.

Вообще, полезно рассматривать площадь трапеции как сумму площадей составляющих ее треугольников. Зачастую это является ключом к решению задачи.

Важные теоремы

Теоремы, которые могут понадобиться, если числовое значение угла между диагоналями не задано в явном виде:

1) Сумма всех углов треугольника равна 180°.

В общем случае, сумма всех углов выпуклого многоугольника равна 180°•(n-2), где n - число сторон многоугольника (равное числу его углов).

2) Теорема синусов для треугольника со сторонами a, b и c:

a/sinA=b/sinB=c/sinC, где A, B, C - углы, лежащие напротив сторон a, b, c соответственно.

3) Теорема косинусов для треугольника со сторонами a, b и c:

c²=a²+b²-2•a•b•cosα, где α - угол треугольника, образованный сторонами a и b. Теорема косинусов имеет своим частным случаем знаменитую теорему Пифагора, т.к. cos90°=0.

Особые свойства трапеции - равнобокость

Обратите внимание на свойства трапеции, указанные в условии задачи. Если дана равнобедренная трапеция (боковые стороны равны), используйте то ее свойство, что диагонали в ней равны.

Особые свойства трапеции - наличие прямого угла

Если дана прямоугольная трапеция (один из углов трапеции прямой), рассмотрите прямоугольные треугольники, находящиеся внутри трапеции. Вспомните, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его сторон, образующих прямой угол, т.к. sin90°=1.


CompleteRepair.Ru