Если в трапецию можно вписать окружность, то в такой трапеции сумма боковых сторон равна сумме оснований. Известно, что площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Очевидно, что диаметр вписанной в трапецию является высотой данной трапеции. Тогда площадь трапеции равна произведению полусуммы боковых сторон на диаметр вписанной окружности.
Диаметр окружности равен двум радиусам, а радиус вписанной окружности — величина известная. Других данных в условии задачи нет.
Начертите квадрат и впишите в него окружность. Очевидно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата.Теперь представьте, что две противоположные стороны квадрата вдруг потеряли устойчивость и начали клониться к вертикальной оси симметрии фигуры. Такое шатание возможно лишь при увеличении размера стороны четырехугольника, описанного вокруг окружности.
Если две оставшиеся стороны бывшего квадрата сохранили параллельность, четырехугольник превратился в трапецию. Окружность становитсявписанной в трапецию, диаметр окружности одновременно становится высотой этой трапеции, а стороны трапеции приобрели разные размеры.
Боковые стороны трапециимогут расползаться и дальше. Точка касания будет перемещаться по окружности.Стороны трапеции в своем шатании подчиняются лишь одному равенству: сумма боковых сторон равна сумме оснований.
Внести определенностьвобразованный шатающимися сторонами геометрический беспорядок можно, если знать углы наклона боковых сторон трапеции к основанию. Обозначьте эти углы α и β. Тогда после несложных преобразований площадь трапеции можно записать следующей формулой:S=D(Sinα+Sinβ)/2SinαSinβгде S — площадь трапецииD — диаметр вписанной в трапецию окружностиα и β — углы между боковыми сторонами трапеции и ее основанием.