Как найти площадь трапеции по вписанной окружности

Содержание:

1. Условия и свойства вписанной окружности в трапецию
2. Пример с квадратом и вписанной окружностью
3. Превращение квадрата в трапецию и свойства вписанной окружности
4. Движение сторон трапеции и точка касания на окружности
5. Формула для нахождения площади трапеции при известных углах
6. S = D(Sinα + Sinβ) / (2SinαSinβ),

Нахождение площади трапеции при известном диаметре вписанной окружности

Если диаметр вписанной в трапецию окружности — единственно известная величина, то задача нахождения площади трапеции имеет множество решений. Результат будет зависеть от величины углов между основанием трапеции и ее боковыми сторонами.

Условия и свойства вписанной окружности в трапецию

Если в трапецию можно вписать окружность, то в такой трапеции сумма боковых сторон равна сумме оснований. Известно, что площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Очевидно, что диаметр вписанной в трапецию окружности является высотой данной трапеции. Тогда площадь трапеции равна произведению полусуммы боковых сторон на диаметр вписанной окружности.

Пример с квадратом и вписанной окружностью

Начертите квадрат и впишите в него окружность. Очевидно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Теперь представьте, что две противоположные стороны квадрата вдруг потеряли устойчивость и начали клониться к вертикальной оси симметрии фигуры. Такое шатание возможно лишь при увеличении размера стороны четырехугольника, описанного вокруг окружности.

Превращение квадрата в трапецию и свойства вписанной окружности

Если две оставшиеся стороны бывшего квадрата сохранили параллельность, четырехугольник превратился в трапецию. Окружность становится вписанной в трапецию, диаметр окружности одновременно становится высотой этой трапеции, а стороны трапеции приобрели разные размеры.

Движение сторон трапеции и точка касания на окружности

Боковые стороны трапеции могут расползаться и дальше. Точка касания будет перемещаться по окружности. Стороны трапеции в своем шатании подчиняются лишь одному равенству: сумма боковых сторон равна сумме оснований.

Формула для нахождения площади трапеции при известных углах

Чтобы внести определенность в образованный шатающимися сторонами геометрический беспорядок, необходимо знать углы наклона боковых сторон трапеции к основанию. Обозначьте эти углы α и β. Тогда после несложных преобразований площадь трапеции можно записать следующей формулой:

S = D(Sinα + Sinβ) / (2SinαSinβ),

где S — площадь трапеции, D — диаметр вписанной в трапецию окружности, α и β — углы между боковыми сторонами трапеции и ее основанием.