Главная Войти О сайте

Как найти площадь треугольника, если известно три стороны

Треугольник – одна из самых распространенных и изучаемых геометрических фигур. Именно поэтому существует множество теорем и формул на нахождение его числовых характеристик. Найти площадь произвольного треугольника, если известно три стороны, можно по формуле Герона.Как найти площадь треугольника, если известно три стороны

Формула Герона – настоящая находка при решении математических задач, ведь она помогает найти площадь любого произвольного треугольника (кроме вырожденного), если известны его стороны. Этот древнегреческий математик интересовался треугольной фигурой исключительно с целочисленными измерениями, площадь которых составляет также целое число, однако это не мешает сегодняшним ученым, а также школьникам и студентам применять ее для любых других.

Для того, чтобы воспользоваться формулой, необходимо знать еще одну числовую характеристику – периметр, а точнее, полупериметр треугольника. Он равен полусумме длин всех его сторон. Это требуется для того, чтобы немного упростить выражение, являющееся довольно громоздким:

S = 1/4•√((АВ + ВС + AC)•(ВС + AC - АВ)•(АВ + AC - ВС)•(АВ + ВС - AC))
р = (АВ+ВС+AC)/2 – полупериметр;
S = √(р•(р - АВ)•(р - ВС)•(р - AC)).

Равенство всех сторон треугольника, который в этом случае называется правильным, превращает формулу в простое выражение:

S = √3•а²/4.

Равнобедренный треугольник характеризуется одинаковой длиной двух из трех сторон АВ = ВС и, соответственно, прилежащих углов. Тогда формула Герона преобразуется в следующее выражение:

S = 1/2•AC•√((АВ + 1/2•AC)•(AC – 1/2•АВ)) = 1/2•AC•√(АВ² – 1/4•AC²), где AC – длина третьей стороны.

Определить площадь треугольника по трем сторонам можно не только с помощью Герона. Например, пусть в треугольник вписана окружность радиуса r. Это значит, что она касается всех его сторон, длины которых известны. Тогда площадь треугольника можно найти по формуле, тоже связанной с полупериметром и состоит в простом произведении его на радиус вписанного круга:

S = 1/2•(АВ + ВС + AC) = р•r.

Пример на применение формулы Герона: пусть задан треугольник со сторонами а=5; b=7 и с=10. Найдите площадь.

Решение

Вычислите полупериметр:

р = (5 + 7 + 10) = 11.

Рассчитайте искомую величину:

S = √(11•(11-5)•(11-7)•(11-10)) ≈ 16,2.


CompleteRepair.Ru