Как найти площадь треугольника по векторам
- Как вычислить площадь треугольника через координаты его вершин
- Вычисление площади треугольника с помощью определителя
- Пример расчета площади треугольника
- Вычисление площади треугольника через длины его сторон
- Пример расчета площади треугольника через длины его сторон
- Расчет площади треугольника через формулу Герона
Как вычислить площадь треугольника через координаты его вершин
Треугольник - это простейшая из многоугольных плоских фигур, которую можно задать с помощью координат точек в вершинах ее углов. Площадь участка плоскости, который будет ограничен сторонами этой фигуры, в декартовой системе координат можно вычислить несколькими способами.
Вычисление площади треугольника с помощью определителя
Если координаты вершин треугольника даны в двухмерном декартовом пространстве, то сначала составьте матрицу из разниц значений координат точек, лежащих в вершинах. Затем используйте определитель второго порядка для полученной матрицы - он будет равен векторному произведению двух векторов, составляющих стороны треугольника.
Формула площади треугольника через координаты его вершин выглядит следующим образом: S=|(X₁-X₃)•(Y₂-Y₃)-(X₂-X₃)•(Y₁-Y₃)|/2.
Пример расчета площади треугольника
Допустим, даны координаты вершин треугольника на двухмерной плоскости: A(-2, 2), B(3, 3) и C(5, -2). Подставив числовые значения переменных в формулу, получим: S=|(-2-5)•(3-(-2))-(3-5)•(2-(-2))|/2=|-7•5-(-2)•4|/2=|-35+8|/2=27/2=13,5 сантиметров.
Вычисление площади треугольника через длины его сторон
Можно действовать по-другому - сначала вычислить длины всех сторон, а затем использовать формулу Герона, которая определяет площадь треугольника именно через длины его сторон.
Длины сторон треугольника вычисляются с использованием теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, составленного из самой стороны (гипотенуза) и проекций каждой стороны на оси координат (катеты).
Пример расчета площади треугольника через длины его сторон
Для координат вершин треугольника, приведенных выше, длины сторон будут следующими: AB=√((-2-3)²+(2-3)²)≈5,1, BC=√((3-5)²+(3-(-2))²)≈5,36, CA=√((5-(-2))²+(-2-2)²)≈8,06.
Расчет площади треугольника через формулу Герона
Полупериметр треугольника вычисляется, сложив длины сторон и разделив результат на двойку.
Для треугольника с предыдущими длинами сторон полупериметр будет приблизительно равен p≈(5,1+5,36+8,06)/2≈9,26.
Площадь треугольника вычисляется по формуле Герона: S=√(p(p-AB)(p-BC)(p-CA)).
Для треугольника с предыдущими длинами сторон площадь составит S=√(9,26•(9,26-5,1)•(9,26-5,36)•(9,26-8,06))≈13,42.
Как видите, результат на восемь сотых отличается от полученного на первом шаге - это результат округлений, использованных при расчетах на третьем, четвертом и пятом шагах.
