Эврика!

Регистрация

Как найти производную корня

В задачах по математическому анализу иногда требуется найти производную корня. В зависимости от условий задачи, производная от функции «корень квадратный» (кубический) находится непосредственно или путем преобразования «корня» в степенную функцию с дробным показателем.Как найти производную корняВам понадобится

Перед тем как находить производную корня, обратите внимание на остальные функции, присутствующие в решаемом примере. Если в задаче имеется много подкоренных выражений, то воспользуйтесь следующим правилом нахождения производной квадратного корня:

(√х)' = 1 / 2√х.

А для нахождения производной кубического корня примените формулу:

(³√х)' = 1 / 3(³√х)²,

где через³√х обозначен кубический корень из х.

Если в примере, предназначенном для дифференцирования, встречается переменная в дробных степенях, то переведите обозначение корня в степенную функцию с соответствующим показателем. Для квадратного корня это будет степень ½, а для кубического корня – ⅓:

√х = х ^ ½,
³√х = x ^ ⅓,

где символ ^ обозначает возведение в степень.

Для нахождения производной степенной функции вообще и х^½, x^⅓, в частности, воспользуйтесь следующим правилом:

(х ^ n)' = n * x^(n-1).

Для производной корня из этого соотношения вытекает:

(х^½)' = ½ x ^ (-½) и
(x^⅓)' = ⅓ x ^ (-⅔).

Продифференцировав все корни, внимательно посмотрите на остальные части примера. Если в ответе у вас получилось очень громоздкое выражение, то наверняка его можно упростить. Большинство школьных примеров составлено таким образом, чтобы в итоге получилось небольшое число или компактное выражение.

Во многих задачах на нахождение производной, корни (квадратные и кубические) встречаются вместе с другими функциями. Чтобы найти производную корня в этом случае, применяйте следующие правила:
• производная константы (постоянного числа, C) равняется нулю: C' = 0;
• постоянный множитель выносится за знак производной: (k*f)' = k * (f)' (f – произвольная функция) ;
• производная суммы нескольких функций равняется сумме производных: (f + g)' = (f)' + (g)';
• производная произведения двух функций равняется… нет, не произведению производных, а следующему выражению: (fg)' = (f)'g + f (g)';
• производная частного также равняется не частному производных, а находится согласно следующего правила: (f/g)' = ((f)'g – f(g)') / g².

© CompleteRepair.Ru