Как найти производную от дроби
- Инструкция: Нахождение производной дроби
- Применение правила для другой дроби
- Производная дроби с знаменателем равным единице
- Примечания и полезные советы
Перефразировка: Производные дробей и их применение в дифференциальном исчислении
Появление дифференциального исчисления было спровоцировано потребностью в решении конкретных физических задач. Предполагается, что знание дифференциального исчисления включает умение находить производные различных функций. Однако, возникает вопрос, умеете ли вы находить производную от функции, выраженной в виде дроби?
Инструкция: Нахождение производной дроби
1. Любая дробь состоит из числителя и знаменателя. При нахождении производной от дроби необходимо находить производные от числителя и знаменателя отдельно.
2. Чтобы найти производную от дроби, умножьте производную числителя на знаменатель и вычтите производную знаменателя, умноженную на числитель. Результат разделите на квадрат знаменателя.
3. Например, для функции [sin (x) / cos (x)]: [sin' (x) · cos (x) - cos' (x) · sin (x)] / cos^2 (x) = [cos^2 (x) + sin^2 (x)] / cos^2 (x) = 1 / cos^2 (x).
4. Полученный результат является эквивалентом производной функции тангенса. Это легко объяснить, так как отношение синуса к косинусу по определению является тангенсом. Таким образом, tg (x) = [sin (x) / cos (x)]' = 1 / cos^2 (x).
Применение правила для другой дроби
5. Для функции [(x^2 - 1) / 6x]: [(2x · 6x - 6 · x^2) / 6x^2] = [12x^2 - 6x^2] / 36 = 6x^2 / 36 = x^2 / 6.
Производная дроби с знаменателем равным единице
6. Особый случай дроби - когда знаменатель равен единице. Нахождение производной от такой дроби проще: достаточно представить ее в виде знаменателя со степенью (-1).
7. Например, для функции (1 / x): [x^(-1)]' = -1 · x^(-2) = -1 / x^2.
Примечания и полезные советы
Дробь может содержать несколько дробей в своем составе. В таком случае, удобно сначала находить производные "первичных" дробей отдельно. При нахождении производных знаменателя и числителя, применяйте правила дифференцирования: для сумм, произведений и сложных функций. Будет полезно иметь в голове производные простейших табличных функций: линейной, показательной, степенной, логарифмической, тригонометрических и т.д.