Главная Войти О сайте

Как найти промежутки возрастания функций

Пусть задана функция - f(x), определенная своим уравнением. Задача состоит в том, чтобы найти промежутки ее монотонного возрастания или монотонного убывания.Как найти промежутки возрастания функций

Функция f(x) называется монотонно возрастающей на промежутке (a, b), если для любого x, принадлежащего этому промежутку, f(a) < f(x) < f(b).
Функция называется монотонно убывающей на промежутке (a, b), если для любого x, принадлежащего этому промежутку, f(a) > f(x) > f(b).

Если не соблюдается ни одно из этих условий, то функцию нельзя назвать ни монотонно возрастающей, ни монотонно убывающей. В этих случаях требуется дополнительное исследование.

Линейная функция f(x) = kx + b монотонно возрастает на всей своей области определения, если k > 0, и монотонно убывает, если k < 0. Если k = 0, то функция является константой и ее нельзя назвать ни возрастающей, ни убывающей.

Экспоненциальная функция f (x) = a^x монотонно возрастает на всей области определения, если a > 1, и монотонно убывает, если 0 < a < 1. Если a = 1, то функция, как и в предыдущем случае, превращается в константу.

В общем случае функция f(x) может иметь на заданном участке несколько промежутков возрастания и убывания. Чтобы их найти, необходимо исследовать ее на экстремумы.

Если задана функция f(x), то ее производная обозначается f′(x). Исходная функция имеет точку экстремума там, где ее производная обращается в ноль. Если при прохождении этой точки производная меняет знак с плюса на минус, то найдена точка максимума. Если производная меняет знак с минуса на плюс, то найденный экстремум — точка минимума.

Пусть f(x) = 3x^2 - 4x + 16, а промежуток, на котором ее нужно исследовать — (-3, 10). Производная функции равна f′(x) = 6x - 4. Она обращается в ноль в точке xm = 2/3. Поскольку f′(x) < 0 для любого x < 2/3 и f′(x) > 0 для любого x > 2/3, то в найденной точке у функции f(x) находится минимум. Ее значение в этой точке равно f(xm) =3*(2/3)^2 - 4*(2/3) + 16 = 14,(6).

Обнаруженный минимум лежит в границах заданного участка. Для дальнейшего анализа необходимо вычислить f(a) и f(b). В данном случае:
f(a) = f(-3) = 3*(-3)^2 - 4*(-3) + 16 = 55,
f(b) = f(10) = 3*10^2 - 4*10 + 16 = 276.

Поскольку f(a) > f(xm) < f(b), то заданная функция f(x) монотонно убывает на отрезке (-3, 2/3) и монотонно возрастает на отрезке (2/3, 10).


CompleteRepair.Ru