Как найти радиус
- Вписанная и описанная окружности многоугольников
- Нахождение радиуса вписанной и описанной окружностей
- Вписанная окружность
- r = ((p-a)(p-b)(p-c)/p)^1/2,
- где p - полупериметр; a, b, c - стороны треугольника.
- Для правильного треугольника формула упрощается:
- r = a/(2*3^1/2),
- где a - сторона треугольника.
- Описанная окружность
- R = abc/(4(p(p-a)(p-b)(p-c))^1/2),
- где p - полупериметр; a, b, c - стороны треугольника.
- Для правильного треугольника формула проще:
- R = a/3^1/2.
- Определение радиусов окружностей
- Построение описанной и вписанной окружности
- Ограничения для многоугольников
- Полезные советы
Вписанная и описанная окружности многоугольников
Если для многоугольника удается построить вписанную и описанную окружности, то площадь этого многоугольника меньше площади описанной окружности, но больше площади вписанной окружности.
Нахождение радиуса вписанной и описанной окружностей
Для некоторых многоугольников известны формулы для нахождения радиуса вписанной и описанной окружностей.
Вписанная окружность
Вписанной в многоугольник называется окружность, касающаяся всех сторон многоугольника. Для треугольника формула радиуса вписанной окружности:
r = ((p-a)(p-b)(p-c)/p)^1/2,
где p - полупериметр; a, b, c - стороны треугольника.
Для правильного треугольника формула упрощается:
r = a/(2*3^1/2),
где a - сторона треугольника.
Описанная окружность
Описанной вокруг многоугольника называется такая окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Для треугольника радиус описанной окружности находится по формуле:
R = abc/(4(p(p-a)(p-b)(p-c))^1/2),
где p - полупериметр; a, b, c - стороны треугольника.
Для правильного треугольника формула проще:
R = a/3^1/2.
Определение радиусов окружностей
Для многоугольников не всегда возможно выяснить соотношение радиусов вписанных и описанных окружностей и длин его сторон. Чаще ограничиваются построением таких окружностей около многоугольника, а затем физического измерения радиуса окружностей с помощью измерительных приборов или векторного пространства.
Построение описанной и вписанной окружности
Для построения описанной окружности выпуклого многоугольника строят биссектрисы двух его углов, на их пересечении лежит центр описанной окружности. Радиусом будет расстояние от точки пересечения биссектрис до вершины любого угла многоугольника.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении перпендикуляров, построенных вовнутрь многоугольника из центров сторон (эти перпендикуляры называются срединными). Достаточно построить два таких перпендикуляра. Радиус вписанной окружности равен расстоянию от точки пересечения срединных перпендикуляров до стороны многоугольника.
Ограничения для многоугольников
В произвольно заданный многоугольник нельзя вписать окружность и описать окружность вокруг него.
Полезные советы
- В четырехугольник можно вписать окружность, если a+c = b+d, где a, b, с, d - стороны четырехугольника по порядку.
- Вокруг четырехугольника можно описать окружность, если противоположные его углы в сумме дают 180 градусов. Для треугольника такие окружности всегда существуют.
