Как найти собственные векторы и собственные значения для матриц
- Нахождение собственных значений и векторов матрицы
- Определение собственных значений и векторов
- Задача на нахождение собственных чисел и векторов
- Характеристическое уравнение матрицы
- Нахождение собственных значений
- Нахождение собственных векторов
- Пример
- Нахождение собственных векторов
Нахождение собственных значений и векторов матрицы
При рассмотрении данного вопроса следует запомнить, что все используемые объекты – это векторы, причем n-мерные. При их записи не используются никакие отличительные признаки, соответствующие классическим векторам.
Определение собственных значений и векторов
Число k называют собственным значением (числом) матрицы А, если существует вектор х такой, что Ax=kx. При этом вектор х называется собственным вектором матрицы А, соответствующим числу k.
Задача на нахождение собственных чисел и векторов
Необходимо поставить задачу нахождения собственных чисел и векторов матрицы А. Пусть собственный вектор x задан координатами. В матричной форме он запишется матрицей-столбцом, который для удобства следует представить транспонированной строкой. X=(x1,x2,…,xn)^T. Исходя из (1), Aх-kх=0 или Aх-kEх=0, где E – единичная матрица (единицы расположены на главное диагонали, все остальные элементы – нули). Тогда (А-kE)х=0.
Характеристическое уравнение матрицы
Выражение (2) является системой линейных однородных алгебраических уравнений, которая имеет ненулевое решение (собственный вектор). Поэтому главный определитель системы (2) равен нулю, то есть |А-kE|=0. Последнее равенство относительно собственного значения k называется характеристическим уравнением матрицы А и в развернутом виде имеет вид (см. рис.2).
Нахождение собственных значений
Это алгебраическое уравнение n-й степени. Действительные корни характеристического уравнения являются собственными числами (значениями) матрицы А.
Нахождение собственных векторов
Подставляя корень k характеристического уравнения в систему (2), получают однородную систему линейных уравнений с вырожденной матрицей (ее определитель равен нулю). Каждое ненулевое решение этой системы представляет собой собственный вектор матрицы А, соответствующий данному собственному числу k (то есть корню характеристического уравнения).
Пример
Найти собственные значения и векторы матрицы А (см. рис 3).
Решение. Характеристическое уравнение представлено на рис. 3. Раскройте определитель и найдите собственные числа матрицы, которые являются корнями данного уравнения (3-k)(-1-k)-5=0, (k-3)(k+1)-5=0, k^2-2k-8=0.Его корни k1=4, k2=-2.
Нахождение собственных векторов
а) Собственные векторы, соответствующие k1=4, находятся, через решение системы (A-4kE)х=0. При этом требуется всего одно ее уравнение, так как определитель системы заведомо равен нулю. Если положить х=(x1, x2)^T, то первое уравнение системы (1-4)x1+x2=0, -3x1+x2=0. Если предположить, что х1=1 (только не ноль), то х2=3. Так как ненулевых решений у однородной системы с вырожденной матрицей сколь угодно много, то все множество собственных векторов, соответствующих первому собственному числу х =С1(1, 3), C1=const.
б) Найдите собственные векторы, соответствующие k2=-2. При решении системы (A+2kE)х=0, ее первое уравнение (3+2)х1+х2=0, 5х1+х2=0.Если положить х1=1, то х2=-5. Соответственные собственные векторы х =С2(1, 3), C2=const. Общее множество всех собственных векторов заданной матрицы: х =С1(1, 3)+ С2(1, 3).
