Главная Войти О сайте

Как найти среднюю линию треугольника

Средняя линия треугольника - это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Соответственно, всего у треугольника три средних линии. Зная свойство средней линии, а также длины сторон треугольника и его углы, можно найти длину средней линии.Как найти среднюю линию треугольникаВам понадобится

Пусть в треугольнике ABC MN - средняя линия, соединяющая середины сторон AB (точка M) и AC (точка N).

По свойству средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине. Значит, средняя линия MN будет параллельна стороне BC и равна BC/2.

Следовательно, для определения длины средней линии треугольника достаточно знать длину стороны именно этой третьей стороны.

Пусть теперь известны стороны, середины которых соединяет средняя линия MN, то есть AB и AC, а также угол BAC между ними. Так как MN - средняя линия, то AM = AB/2, а AN = AC/2.

Тогда по теореме косинусов справедливо: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM*AN*cos(BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. Отсюда, MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).

Если известны стороны AB и AC, то среднюю линию MN можно найти, зная угол ABC или ACB. Пусть, например, известен угол ABC. Так как по свойству средней линии MN параллельна BC, то углы ABC и AMN - соответствующие, и, следовательно, ABC = AMN. Тогда по теореме косинусов: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). Следовательно, сторону MN можно найти из квадратного уравнения (MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0.


CompleteRepair.Ru