Главная Войти О сайте

Как найти точки перегиба функции

Как найти точки перегиба функции

Содержание:
  1. Как найти точки перегиба функции
  2. Определение области определения функции
  3. Условие существования точек перегиба
  4. Построение касательной и изменение знака второй производной
  5. Пример решения
  6. Определение области определения
  7. Вычисление первой производной
  8. Проверка первого условия
  9. Вычисление второй производной
  10. Проверка второго условия

Как найти точки перегиба функции

Чтобы найти точки перегиба функции, необходимо определить, в каких местах ее график меняет выпуклость на вогнутость и наоборот. Для этого используется алгоритм, связанный с вычислением второй производной и анализом ее поведения в окрестности некоторой точки.

Определение области определения функции

Первым шагом в поиске точек перегиба является определение области определения функции. График функции может иметь различные свойства, такие как непрерывность, монотонное убывание или возрастание, наличие минимальных или максимальных точек, выпуклость или вогнутость. Точкой перегиба является резкая смена двух последних состояний.

Условие существования точек перегиба

Основным условием существования точек перегиба функции является равенство второй производной нулю. Для нахождения абсцисс возможных точек перегиба необходимо дважды продифференцировать функцию и приравнять получившееся выражение к нулю.

Построение касательной и изменение знака второй производной

Найденная абсцисса может являться точкой перегиба, если через нее можно провести касательную к графику функции и вторая производная имеет разные знаки справа и слева от этой точки. Таким образом, знак второй производной должен меняться в ней.

Пример решения

Рассмотрим пример для наглядности. Пусть у = (3•х + 3)• ∛(х - 5). Необходимо найти точки перегиба данной функции.

Определение области определения

Для начала определим область определения функции. В данном случае ограничений нет, следовательно, областью определения является все пространство действительных чисел.

Вычисление первой производной

Вычислим первую производную функции: у’ = 3•∛(х - 5) + (3•х + 3)/∛(х - 5)². Обратим внимание на появление дроби, что ограничивает область определения производной.

Проверка первого условия

Определим точку х = 5, которая является выколотой. Через нее может проходить касательная, что соответствует первому условию точки перегиба.

Вычисление второй производной

Вычислим вторую производную функции: У’’ = 1/∛(х - 5)² + 3/∛(х - 5)² – 2/3•(3•х + 3)/∛(х - 5)^5 = (2•х – 22)/∛(х - 5)^5. Для дальнейшего анализа опустим знаменатель, так как уже учли точку х = 5.

Проверка второго условия

Решим уравнение 2•х – 22 = 0. Получим корень х = 11. Анализируя поведение второй производной в окрестностях точек х = 5 и х = 11, видим, что в точке х = 5 она меняет знак с «+» на «-», а в точке х = 11 – наоборот. Таким образом, обе точки являются точками перегиба. Первое условие для точек перегиба выполнено.

В итоге, используя алгоритм поиска точек перегиба функции, мы смогли определить их с использованием первых и вторых производных и анализа их поведения. Этот метод позволяет точно определить точки перегиба и изучить свойства графика функции.


CompleteRepair.Ru