Как найти третий угол в треугольнике
- Теорема о сумме углов треугольника
- Пример 1
- Пример 2
- Теорема косинусов
- Теорема синусов
- Вычисление третьего угла
- Пример решения
- Проверка и полезные советы
Теорема о сумме углов треугольника
Треугольником называют часть плоскости, ограниченную тремя отрезками прямых (стороны треугольника), имеющих попарно по одному общему концу (вершины треугольника). Углы треугольника можно найти по Теореме о сумме углов треугольника.
Пример 1
Рассмотрим пример задачи, в которой известны два угла треугольника, α = 30° и β = 63°, и необходимо найти третий угол γ. Используя Теорему о сумме углов треугольника, находим третий угол: γ = 180° - α - β = 180° - 30° - 63° = 87°.
Пример 2
Теперь рассмотрим задачу нахождения третьего угла треугольника при известных сторонах |AB| = a, |BC| = b, |AC| = c. Необходимо найти углы α, β и γ. Используя теорему косинусов и теорему синусов, мы можем найти значения этих углов.
Теорема косинусов
Согласно теореме косинусов, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон и косинуса угла, заключенного между ними. Т.е. в наших обозначениях c^2 = a^2 + b^2 – 2 * a * b * cos β. Используя эту формулу, находим cos β и далее значение угла β.
Теорема синусов
Согласно теореме синусов, стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Используя эту теорему, мы можем выразить синус угла α: a/sin α = b/sin β. Далее находим значение угла α.
Вычисление третьего угла
После нахождения значений углов α и β, мы можем найти третий угол γ по формуле γ = 180° - (α + β).
Пример решения
Рассмотрим пример решения задачи, в которой заданы стороны треугольника a = 4, b = 4√2 и c = 4. Из условия видно, что это равнобедренный прямоугольный треугольник, и мы должны получить углы 90°, 45° и 45°. Используя теоремы косинусов и синусов, находим значения углов α, β и γ.
Проверка и полезные советы
Заметим, что в треугольнике не менее двух углов должны быть острыми (т.е. меньше 90°). Поэтому после вычисления третьего угла необходимо проверить, удовлетворяют ли углы треугольника заданному условию. Также полезно сложить все три угла и убедиться, что получается 180°. Для нахождения величин углов по значениям их тригонометрических функций удобно использовать таблицы Брадиса.
