Главная Войти О сайте

Как найти третий угол в треугольнике

Треугольником называют часть плоскости, ограниченную тремя отрезками прямых (стороны треугольника), имеющих попарно по одному общему концу (вершины треугольника). Углы треугольника можно найти по Теореме о сумме углов треугольника.Как найти третий угол в треугольнике

Теорема о сумме углов треугольника гласит, что сумма углов треугольника составляет 180°. Рассмотрим несколько примеров задач с разными заданными параметрами. Во-первых, пусть заданы два угла α = 30°, β = 63°. Необходимо найти третий угол γ. Находим его непосредственно из теоремы о сумме углов треугольника: α + β + γ = 180° => γ = 180° - α - β = 180° - 30° - 63° = 87°.

Теперь рассмотрим задачу нахождения третьего угла треугольника более общего вида. Пусть нам известны три стороны треугольника |AB| = a, |BC| = b, |AC| = c. И необходимо найти три угла α, β и γ. Воспользуемся теоремой косинусов для нахождения угла β. Согласно теореме косинусов квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон и косинуса угла, заключенного между ними. Т.е. в наших обозначениях c^2 = a^2 + b^2 – 2 * a * b * cos β => cos β = (a^2 + b^2 - c^2) / (2 *a * b).

Далее воспользуемся теоремой синусов для нахождения угла α. Согласно этой теореме стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Выразим из этого соотношения синус угла α: a/sin α = b/sin β => sin α = b * sin β / a. Третий угол находим по уже известной нам теореме о сумме углов треугольника по формуле γ = 180° - (α + β).

Приведем пример решения подобной задачи. Пусть даны стороны треугольника a = 4, b = 4 * √2, c = 4. Из условия мы видим, что это равнобедренный прямоугольный треугольник. Т.е. в результате мы должны получить углы 90°, 45° и 45°. Посчитаем эти углы по приведенному выше способу. По теореме косинусов находим угол β: cos β = (16 + 32 - 16) / (2 * 16 * √2) = 1 / √2 = √2 / 2 => β = 45°. Далее находим угол α по теореме синусов: sin α = 4 * √2 * √2 / (2 * 4) = 1 => α = 90°. И наконец, применив теорему о сумме углов треугольника, получаем угол γ = 180° - 45° - 90° = 45°.


CompleteRepair.Ru