Главная Войти О сайте

Как найти углы, когда известны длины сторон треугольника

Величины углов, лежащих в вершинах треугольника, и длины сторон, образующих эти вершины, связаны между собой определенными соотношениями. Эти отношения выражаются чаще всего через тригонометрические функции - в основном, через синус и косинус. Знания длин всех сторон фигуры достаточно, чтобы с использованием этих функций восстановить величины всех трех углов.Как найти углы, когда известны длины сторон треугольника

Для вычисления величины любого из углов произвольного треугольника используйте теорему косинусов. Она гласит, что квадрат длины любой стороны (например, A) равен сумме квадратов длин двух других сторон (B и C), из которой вычтено произведение их же длин на косинус угла (α), лежащего в образуемой ими вершине. Это значит, что вы можете выразить косинус через длины сторон: cos(α) = (B²+C²-A²)/(2*A*B). Чтобы получить величину этого угла в градусах, к полученному выражению примените обратную косинусу функцию - арккосинус: α = arccos((B²+C²-A²)/(2*A*B)). Таким способом вы вычислите величину одного из углов - в данном случае того, который лежит напротив стороны А.

Для вычисления двух оставшихся углов можно использовать ту же формулу, меняя в ней местами длины известных сторон. Но более простое выражение с меньшим числом математических операций можно получить, задействовав другой постулат из области тригонометрии - теорему синусов. Она утверждает, что отношение длины любой стороны к синусу противолежащего ей угла в треугольнике равны. Это значит, что вы можете выразить, например, синус угла β, лежащего напротив стороны B через длину стороны C и уже рассчитанного угла α. Умножьте длину B на синус α, а результат разделите на длину C: sin(β) = B*sin(α)/C. Величину этого угла в градусах, как и в предыдущем шаге, рассчитайте с использованием обратной тригонометрической функции - на этот раз арксинуса: β = arcsin(B*sin(α)/C).

Величину оставшегося угла (γ) можно вычислить по любой из полученных в предыдущих шагах формул, поменяв в них местами длины сторон. Но проще задействовать еще одну теорему - о сумме углов в треугольнике. Она утверждает, что эта сумма всегда равна 180°. Так как два из трех углов вам уже известны, просто отнимите от 180° их величины, чтобы получить величину третьего: γ = 180°-α-β.


CompleteRepair.Ru