Как найти угол между прямой и плоскостью, если даны точки
- Аналитическая геометрия: решение задачи о нахождении угла
- Иллюстрация задачи
- Определение векторов и решение задачи
- Вычисление угла и окончательный ответ
Аналитическая геометрия: решение задачи о нахождении угла
Задача, связанная с аналитической геометрией, может быть решена с использованием уравнений прямой и плоскости в пространстве. Решений для такой задачи может быть несколько, и выбор конкретного решения зависит от исходных данных. Однако любое решение может быть переведено в другое без больших трудозатрат.
Иллюстрация задачи
Для наглядного представления задачи можно использовать рисунок 1. Основное вычисление заключается в определении угла α между прямой ℓ (точнее, ее направляющим вектором s) и проекцией направления прямой на плоскость δ. Однако это может быть неудобным, так как потребуется поиск направления вектора Прs. Вместо этого гораздо проще сначала найти угол β между направляющим вектором прямой s и вектором нормали к плоскости n. Очевидно, что α=π/2-β (см. рисунок 1).
Определение векторов и решение задачи
В задаче остается определить нормальный и направляющий векторы. Из вопроса можно понять, что имеются указанные точки, но не указано, какие именно. Если эти точки определяют и плоскость, и прямую, то их должно быть не менее пяти. Для однозначного задания плоскости требуется знать три точки, а прямая однозначно определяется двумя точками. Поэтому предполагается, что имеются точки М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2), М3(x3,y3,z3) (задают плоскость), а также М4(x4,y4,z4) и М5(x5,y5,z5) (задают прямую).
Чтобы определить направляющий вектор s прямой, не требуется знать ее уравнение. Достаточно просто положить s=M4M5, и его координаты будут s={x5-x4, y5-y4, z5-z4} (рисунок 1). То же самое можно сказать и о векторе нормали к поверхности n. Чтобы его вычислить, нужно найти векторы М1М2 и М1М3, указанные на рисунке. M1M2={x2-x1, y2-y1, z2-z1}, M1M3={x3-x1, y3-y1, z3-z1}. Эти векторы лежат в плоскости δ. Нормаль n перпендикулярна плоскости, поэтому можно положить n равной векторному произведению М1М2×М1М3. Не страшно, если нормаль окажется направленной противоположно относительно той, которая показана на рисунке 1.
Вычисление угла и окончательный ответ
Удобно вычислять векторное произведение с использованием вектора-определителя, который нужно раскрыть по первой строке (рисунок 2a). Вместо координат вектора А и B подставьте координаты М1М2 и М1М3, обозначив их как А, В и С (это коэффициенты общего уравнения плоскости). Тогда n={А, В, С}. Чтобы определить угол β, можно использовать скалярное произведение (n, s) и его вычисление в координатной форме. cosβ=(A(x5-x4)+B(y5-y4)+C(z5-z4))/(|n||s|). Так как α=π/2-β (рисунок 1), то sinα=cosβ. Окончательный ответ приведен на рисунке 2b.
