Как найти угол между ребром и гранью
Определение задачи
Прежде чем искать решение поставленной задачи, следует определить с ребром и гранью какой фигуры вы имеете дело. Обычно речь идет о каком-либо многограннике. Любая сторона многогранника - многоугольник, каждый из которых всегда можно разбить на треугольники. В общем случае будет достаточно рассмотрения тетраэдра. При этом абсолютно не важно какой треугольник находится в основании и каково конкретное расположение заданного ребра. Поэтому решение задачи сводится к поиску угла между прямой и плоскостью, содержащей данную грань.
Необходимые инструменты
Вам понадобится - бумага, ручка, линейка.
Инструкция
1. На рисунке 1 наглядно проиллюстрировано, что необходимо искать угол между прямой ребра s и ее проекцией ф2. Однако для этого пришлось бы искать еще и прямую, содержащую эту проекцию. Но задачу можно немного упростить – найти угол ф1 между нормалью к плоскости грани и направляющим вектором прямой ребра s. Тогда становится очевидно, что ф2 =п/2 - ф1, то есть cosф1=sinф2.
2. Для численного решения задачи необходимо вычислить скалярное произведение векторов (a, b) ((a, b) = |a||b|cosф). В декартовых координатах если а={x1, y1, z1} и b={x2, y2, z2}, то (a, b) = x1x2 +y1y2+z1z2. При этом скалярный квадрат вектора (а,а)=|a|^2=x1^2 +y1^2+z1^2. Для вектора b – аналогично. Поэтому |a||b|cos ф = x1х2+у1y2+z1z2. Следовательно, cosф=( x1x2 +y1y2+z1z2)/(|a||b|).
3. Пример. Пусть положение ребра описывается каноническими уравнениями прямой s: (x-x0)/m = (y-y0)/n = (z-z0)/p, (x0, y0, z0) известная точка прямой (например одна из вершин ребра), вектор s={m, n, p} – направляющий вектор s. Пусть плоскость грани б задана общим уравнением плоскости Ax+Вy+Cz+D=0. Тогда ее нормаль n={A, B, C}. Для получения однозначного решения задачи будет достаточно задать векторы n и s. Далее найдите cosф1=(mA+nB+pC)/[(m^2+n^2+p^2)( A^2 +B^2+C^2)]^(1/2). Учитывая указанное выше соотношение, cosф1=sinф2 , ответ можно записать в виде арксинуса: ф2=arcsin(cosф1).
4. Если s={3, 2,-1}, n={2, 0,1}, то косинус угла между ними cosф1=(6-1)/[(9+4+1)(5+1)]^(1/2)] = 5/[(14)6)]^(1/2) =5/2(21)^(1/2) =11,45. Ответ: ф2=arcsin(11,45).
