Как найти уравнение плоскости пирамиды
Возможно, что и существует специальное понятие плоскости пирамиды, но автору оно неизвестно. Поскольку пирамида относится к пространственным многогранникам, плоскости образовать могутлишь грани пирамиды. Именно они и будут рассмотрены.
Самое простое задание пирамиды - это представление ее координатами точек вершин. Можно использовать и другие представления, которые без труда переводятся как друг в друга, так и в предложенное.Для простотырассмотрите треугольную пирамиду. Тогда в пространственном случае понятие «основание» становится весьмаусловным. Поэтому отличать его от боковых граней не следует. При произвольной пирамиде ее боковые грани все равно треугольники, а для составления уравнения плоскости основания все равно хватит трех точек.
Каждая грань треугольной пирамиды полностью определяется тремя точками вершин соответствующего треугольника.Пусть это М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2),М3(x3,y3,z3).Для нахождения уравнения плоскости, содержащей эту грань, используйте общее уравнение плоскости в виде A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.Здесь (x0,y0,z0) – произвольная точка плоскости, в качестве которой используйте одну из трех заданных на данный момент, например М1(x1,y1,z1). Коэффициенты A, B, C образуют координаты вектора нормали к плоскости n={A, B, C}.Чтобы найти нормаль, можно использовать координаты вектора, равного векторному произведению [М1,М2] (см. рис. 1). Их ивозьмите равными A, B C соответственно. Осталось найти скалярное произведение векторов (n, M1M) в координатной форме и приравнять его нулю. Здесь М(x,y,z) – произвольная (текущая) точка плоскости.
Полученный алгоритм построения уравнения плоскости по трем ее точкам можно сделать более удобным для применения. Обратите внимание, что найденная методика предполагает вычисление векторного произведения, а затем скалярного. Это не что иное, как смешанное произведение векторов. В компактной форме оно равно определителю, строки которого состоят из координат векторов М1М={x-x1, y-y1, z-z1}, M1M2={x2-x1, y2-y1, z2-z1}, M1М3={x3-x1, y3-y1, z3-z1}. Приравняйте его нулю и получите уравнение плоскости в виде определителя (см. рис. 2). После его раскрытия придете к общему уравнению плоскости.
