Как найти уравнение плоскости пирамиды
- Представление пирамиды координатами точек вершин
- Нахождение уравнения плоскости по трем точкам грани
- Удобный алгоритм построения уравнения плоскости
Представление пирамиды координатами точек вершин
Представление пирамиды координатами точек вершин является самым простым способом описания этой геометрической фигуры. Однако можно использовать и другие способы, которые легко переводятся друг в друга и в представление координатами вершин. Для наглядности рассмотрим треугольную пирамиду. В пространственном случае понятие "основание" становится условным, поэтому его не следует отличать от боковых граней. Для составления уравнения плоскости основания достаточно трех точек.
Нахождение уравнения плоскости по трем точкам грани
Каждая грань треугольной пирамиды полностью определяется тремя точками вершин соответствующего треугольника. Общее уравнение плоскости, содержащей эту грань, имеет вид A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. Здесь (x0,y0,z0) - произвольная точка плоскости, в качестве которой можно использовать одну из заданных вершин. Коэффициенты A, B, C образуют координаты вектора нормали к плоскости. Нормаль можно найти, используя координаты вектора, равного векторному произведению двух векторов, образованных точками вершин. Остается лишь найти скалярное произведение векторов нормали и вектора, образованного точкой плоскости. Это позволяет получить уравнение плоскости.
Удобный алгоритм построения уравнения плоскости
Алгоритм построения уравнения плоскости по трем точкам можно сделать более удобным для применения. Заметим, что этот алгоритм включает вычисление векторного и скалярного произведений. В компактной форме смешанное произведение векторов представляется определителем, строки которого состоят из координат векторов. Приравняв его к нулю, можно получить уравнение плоскости в виде определителя. Раскрыв его, мы приходим к общему уравнению плоскости.