Как найти условные экстремумы функции
- Нахождение условного экстремума функции
- Упрощение параметрической функции
- Общий случай нахождения экстремума
Нахождение условного экстремума функции
Нахождение условного экстремума функции относится к случаю функции двух или более переменных. В этом случае условность заключается в задании некоторых фиксированных параметров функции.
Упрощение параметрической функции
Условный экстремум функции обычно относится к случаю функции двух переменных. Такая функция определяется зависимостью между переменной z и двумя независимыми переменными x и y, т.е. z=f(x,y). Графически данная функция представляет собой поверхность.
Параметрическая зависимость, используемая при нахождении условного экстремума, представляет собой кривую, которая связывает две независимые переменные. В некоторых случаях уравнение g(x,y)=0 можно переписать в виде y=y(x), где переменная y выражена через x. Подставив это уравнение в зависимость z=f(x,y), получаем уравнение z=f(x,y(x)), которое зависит только от переменной "икс".
Общий случай нахождения экстремума
Если уравнение g(x,y)=0 нельзя разрешить относительно одной из переменных, то условный экстремум находят с помощью функции Лагранжа. Функция Лагранжа представляет собой сумму исследуемой функции и произведения некоторой постоянной l на параметрическую функцию, т.е. L= f(x,y)+lg(x,y).
Для существования экстремума у функции z=f(x,y) при условии g(x,y)=0 необходимо, чтобы частные производные функции Лагранжа равнялись нулю: dL/dx=0, dL/dy=0, dL/dl=0.
После дифференцирования каждого из уравнений получаем зависимость между переменными x, y и l. Зная эти зависимости, можно найти значения переменных в точке экстремума. Подставив эти значения в уравнение функции, определяющей условный экстремум, можно найти максимум или минимум функции z=f(x,y) при условии g(x,y)=0. Этот метод нахождения условного экстремума называется методом Лагранжа.
