Как найти все делители числа

Содержание:

1. Делители и кратные числа
2. Простые и составные числа
3. Правила поиска делителей
4. Признаки делимости
5. Существуют также признаки делимости на 13, 17, 19, 23 и другие числа.
6. Поиск делителей для нечетных чисел

Делители и кратные числа

Число b называется делителем целого числа a, если существует такое целое число q, что bq = a. Обычно рассматривается делимость натуральных чисел. Само делимое a будет называться кратным числа b. Поиск всех делителей числа осуществляется по определенным правилам.

Простые и составные числа

Для начала убедимся, что любое натуральное число, большее единицы, имеет по крайней мере два делителя - единицу и само себя. Действительно, a:1 = a, a:a = 1. Числа, имеющие только два делителя, называются простыми. Единственный делитель единицы - это, очевидно, единица. То есть единица не является простым числом (и не является составным, как мы увидим далее).

Числа, имеющие более двух делителей, называются составными. Какие же числа могут быть составными? Так как четные числа делятся на 2 нацело, то все четные числа, кроме числа 2, будут составными. Действительно, при делении 2:2 двойка делится саму на себя, то есть имеет только два делителя (1 и 2) и является простым числом.

Правила поиска делителей

Посмотрим, есть ли у четного числа еще каки-либо делители. Разделим его сначала на 2. Из коммутативности операции умножения очевидно, что получившееся частное также будет делителем числа. Затем, если получившееся частное будет целым, разделим опять на 2 уже это частное. Тогда получившееся в результате новое частное y = (x:2):2 = x:4 тоже будет делителем исходного числа. Аналогично, и 4 будет делителем исходного числа. Продолжая эту цепочку, обобщим правило: последовательно делим сначала четное число а потом получившееся частные на 2 до тех пор, пока какое-либо частное не станет равно нечетному числу. При этом все получившиеся частные будут делителями этого числа. Кроме этого делителями этого числа будут и числа 2^k где k = 1...n, где n - число шагов этой цепочки.

Пример: 24:2 = 12, 12:2 = 6, 6:2 = 3 - нечетное число. Следовательно, 12, 6 и 3 - делители числа 24. В этой цепочке 3 шага, следовательно, делителями числа 24 будут также числа 2^1 = 2 (уже известно из четности числа 24), 2^2 = 4 и 2^3 = 8. Таким образом, числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24 будут делителями числа 24.

Однако не для всех четных чисел эта схема может дать все делители числа. Рассмотрим, например, число 42. 42:2 = 21. Однако, как известно, числа 3, 6 и 7 также будут делителями числа 42.

Признаки делимости

Существуют признаки делимости на определенные числа. Рассмотрим важнейшие из них:

• Признак делимости на 3: когда сумма цифр числа делится на 3 без остатка.
• Признак делимости на 5: когда последняя цифра числа 5 или 0.
• Признак делимости на 7: когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.
• Признак делимости на 9: когда сумма цифр числа делится на 9 без остатка.
• Признак делимости на 11: когда сумма цифр, занимающих нечётные места, либо равна сумме цифр, занимающих чётные места, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

Существуют также признаки делимости на 13, 17, 19, 23 и другие числа.

Поиск делителей для нечетных чисел

Как для четных, так и для нечетных чисел нужно использовать признаки деления на то или иное число. Разделив число, следует определить делители получившегося частного и.т.д. (цепочка аналогична цепочки четных чисел при делении их на 2, описанной выше).