Пусть высота AE проведена к основанию BC равнобедренного треугольника ABC. Треугольник AEB будет прямоугольным, так как AE - высота. Боковая сторона AB будет гипотенузой этого треугольника, а BE и AE - его катетами.
По теореме Пифагора (AB^2) = (BE^2)+(AE^2). Тогда (BE^2) = sqrt((AB^2)-(AE^2)). Так как AE одновременно и медиана треугольника ABC, то BE = BC/2. Следовательно, (BE^2) = sqrt((AB^2)-((BC^2)/4)).
Если задан угол при основании ABC, то из прямоугольного треугольника высота AE равна AE = AB/sin(ABC). Угол BAE = BAC/2, так как AE - биссектриса треугольника. Отсюда, AE = AB/cos(BAC/2).
Пусть теперь проведена высота BK к боковой стороне AC. Эта высота уже не является ни медианой, ни биссектрисой треугольника. Для вычисления ее длины существует общая формула.
Пусть S - площадь этого треугольника. Сторону AC, на которую опущена высота, можно обозначить за b. Тогда из формулы площади треугольника будет находиться длина высоту BK: BK = 2S/b.
Из этой формулы видно, что высота, проведенная к стороне с (AB), будет иметь такую же длину, так как b = c = AB = AC.
