Главная Войти О сайте

Как написать уравнение касательной

Касательная к кривой — прямая, которая прилегает к этой кривой в заданной точке, то есть проходит через нее так, что на небольшом участке вокруг этой точки можно без особой потери точности заменить кривую на отрезок касательной. Если эта кривая является графиком функции, то касательную к ней можно построить по специальному уравнению.Как написать уравнение касательной

Предположим, что у вас есть график некоторой функции. Через две точки, лежащие на этом графике, можно провести прямую. Такая прямая, пересекающая график заданной функции в двух точках, называется секущей.

Если, оставляя первую точку на месте, постепенно двигать в ее направлении вторую точку, то секущая постепенно станет поворачиваться, стремясь к какому-то определенному положению. В конце концов, когда две точки сольются в одну, секущая будет плотно прилегать к вашему графику в этой единственной точке. Иными словами, секущая превратится в касательную.

Любая наклонная (то есть не вертикальная) прямая на координатной плоскости является графиком уравнения y = kx + b. Секущая, проходящая через точки (x1, y1) и (x2, y2), должна, таким образом, соответствовать условиям:
kx1 + b = y1, kx2 + b = y2.
Решая эту систему двух линейных уравнений, получаем: kx2 - kx1 = y2 - y1. Таким образом, k = (y2 - y1)/(x2 - x1).

Когда расстояние между x1 и x2 стремится к нулю, разности превращаются в дифференциалы. Таким образом, в уравнении касательной, проходящей через точку (x0, y0) коэффициент k будет равен ∂y0/∂x0 = f′(x0), то есть значению производной от функции f(x) в точке x0.

Чтобы узнать коэффициент b, подставим уже вычисленное значение kв уравнение f′(x0)*x0 + b = f(x0). Решая это уравнение относительно b, мы получим, что b = f(x0) - f′(x0)*x0.

Окончательный вариант уравнения касательной к графику заданной функции в точке x0, выглядит так:
y = f′(x0)*(x - x0) + f(x0).

В качестве примера рассмотрим уравнение касательной к функции f(x) = x^2 в точке x0 = 3. Производная от x^2 равна 2x. Следовательно, уравнение касательной приобретает вид:
y = 6*(x - 3) + 9 = 6x - 9.
Правильность этого уравнения легко проверить. График прямой y = 6x - 9 проходит через ту же точку (3;9), что и исходная парабола. Построив оба графика, вы сможете убедиться, что эта прямая действительно прилегает к параболе в этой точке.

Таким образом, график функции имеет касательную в точке x0 только тогда, когда функция имеет производную в этой точке. Если в точке x0 функция обладает разрывом второго рода, то касательная превращается в вертикальную асимптоту. Однако одно только наличие производной в точке x0 еще не гарантирует непременного существования касательной в этой точке. Например, функция f(x) = |x| в точке x0 = 0 непрерывна и дифференцируема, но провести касательную к ней в этой точке невозможно. Стандартная формула в этом случае дает уравнение y = 0, но эта прямая не является касательной к графику модуля.


CompleteRepair.Ru