Главная Войти О сайте

Как определить критические точки

Критические точки являются одним из важнейших аспектов исследования функции с помощью производной и имеют широкую область применения. Они используются в дифференциальном и вариационном исчислениях, играют большую роль в физике и механике.Как определить критические точки

Понятие критической точки функции тесно связано с понятием ее производной в этой точке. А именно, точка называется критической, если производная функции в ней не существует или равна нулю. Критические точки являются внутренними точками области определения функцию.

Чтобы определить критические точки данной функции, необходимо выполнить несколько действий: найти область определения функции, вычислить ее производную, найти область определения производной функции, найти точки обращения производной в ноль, доказать принадлежность найденных точек области определения исходной функции.

Пример 1Определите критические точки функции y = (x - 3)²·(x-2).

РешениеНайдите область определения функции, в данном случае ограничений нет: x ∈ (-∞; +∞);Вычислите производную y’. По правилам дифференцирования произведения двух функций имеется: y’ = ((x - 3)²)’·(x - 2) + (x - 3)²·(x - 2)’ = 2·(x - 3)·(x - 2) + (x - 3)²·1. После раскрытия скобок получается квадратное уравнение: y’ = 3·x² – 16·x + 21.

Найдите область определения производной функции: x ∈ (-∞; +∞).Решите уравнение 3·x² – 16·x + 21 = 0 для того, чтобы найти, при каких x производная обращается в ноль: 3·x² – 16·x + 21 = 0.

D = 256 – 252 = 4x1 = (16 + 2)/6 = 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3.Итак, производная обращается в ноль при значениях x, равных 3 и 7/3.

Определите, принадлежат ли найденные точки области определения исходной функции. Поскольку x (-∞; +∞), то обе эти точки являются критическими.

Пример 2Определите критические точки функции y = x² – 2/x.

РешениеОбласть определения функции: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞), поскольку x стоит в знаменателе.Вычислите производную y’ = 2·x + 2/x².

Область определения производной функции та же, что у исходной: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞).Решите уравнение 2·x + 2/x² = 0:2·x = -2/x² → x = -1.

Итак, производная обращается в ноль при x = -1. Выполнено необходимое, но недостаточное условие критичности. Поскольку x=-1 попадает в интервал (-∞; 0) ∪ (0; +∞), то эта точка являются критической.


CompleteRepair.Ru