Как определить объём геометрического тела

Стереометрическая фигура – это область пространства, ограниченная некоторой поверхностью. Одной из основных количественных характеристик такой фигуры является объем. Чтобы определить объем геометрического тела, нужно рассчитать его вместимость в кубических единицах.

Объем геометрического тела – это некоторое положительное число, которое ставится ему в соответствие и является одной из основных числовых характеристик наряду с площадью и периметром. Если тело имеет объем, то его называют кубируемым, т.е. состоящим из определенного количества кубов со стороной единичной длины.

Чтобы определить объем произвольного геометрического тела, нужно разбить его на части, представляющие собой простые фигуры, а затем сложить их объемы. Для этого необходимо вычислить определенный интеграл от функции площади горизонтального сечения:

V = ∫_(a, b) S (x) dx, где (a, b) – интервал на координатной оси Ox, на котором существует функция S (x).

Тело, обладающее линейными измерениями (длиной, шириной и высотой), является многогранником. Такие фигуры имеют широкое распространение в геометрии. Это стандартные тетраэдр, параллелепипед и его разновидности, призма, цилиндр, сфера и пр. Для каждой из них существуют готовые доказанные формулы, которые используются при решении задач.

В общем виде объем можно найти, умножив площадь основания на высоту. В некоторых случаях ситуация еще больше упрощается. Например, в прямом и прямоугольном параллелепипеде объем равен произведению всех его измерений, а для куба эта величина превращается в длину стороны в третьей степени.

Объем призмы рассчитывается через произведение площади сечения, перпендикулярного боковому ребру, и длины этого ребра. Если призма прямая, то первая величина равна площади основания. Призма – разновидность обобщенного цилиндра с многоугольником в основании. Распространен круговой цилиндр, объем которого определяется по следующей формуле:

V = S•l•sin α, где S – площадь основания, l – длина образующей линии, α – угол между этой линией и основанием. Если этот угол прямой, то V = S•l, т.к. sin 90° = 1. Поскольку в основании кругового цилиндра лежит окружность, то V = 2•π•r²•l, где r – ее радиус.

Часть пространства, ограниченная сферой, называется шаром. Чтобы получить его объем, нужно найти определенный интеграл от площади боковой поверхности по x от 0 до r:

V = ∫_(0, r) 4•π•x² dx = 4/3•π•r³.