Как определить центр массы
- Центр масс: важная характеристика тела
- Простое начало
- Разбиение фигуры на элементарные прямоугольники
- Вычисление массы фигуры
- Статические моменты массы и координаты центра массы
- Центр масс пространственной фигуры
Центр масс: важная характеристика тела
Центр масс является важной геометрической и технической характеристикой любого тела. Без вычисления его координат невозможно представить конструирование в машиностроении, решение задач строительства и архитектуры. Точное определение координат центра массы производится с помощью интегрального исчисления.
Простое начало
Начинать всегда следует с простого, постепенно переходя к более сложным ситуациям. Исходите из того, что определению подлежит центр массы непрерывной плоской фигуры D, плотность которой ρ постоянна и равномерно распределена в ее пределах. Аргумент х изменяется от а до b, y от c до d.
Разбиение фигуры на элементарные прямоугольники
Разбейте фигуру сеткой вертикальных и горизонтальных прямых на элементарные прямоугольники. При этом середину элементарного отрезка найдите как ξi=(1/2)[xi+x(i-1)], а высоту ∆yj как ηj=(1/2)[yj+y(j-1)]. Поскольку плотность распределяется равномерно, то центр массы элементарного прямоугольника совпадет с ее геометрическим центром.
Вычисление массы фигуры
Вычислите массу М плоской фигуры, умножив плотность на площадь. Замените элементарную площадь на ds=∆хi∆yj=dxdy. Представьте ∆mij в виде dM=ρdS=ρdxdy и получите ее массу по соответствующей формуле.
Статические моменты массы и координаты центра массы
При малых приращениях считайте, что масса ∆mij, сосредоточена в материальной точке с координатами Хцi=ξi, Yцi=ηj. Из задач механики известно, что каждая координата центра масс системы материальных точек равна дроби, числитель которой содержит сумму статических моментов масс mν относительно соответствующей оси, а знаменатель равен сумме этих масс.
Примените это правило к рассматриваемой ситуации и получите приблизительные значения статических моментов Јх и Ју. Входящие в последние выражения суммы являются интегральными. Перейдите к пределам от них при ∆хν→0 ∆yν→0 и запишите окончательные формулы. Координаты центра масс находите делением соответствующего статистического момента на общую массу фигуры М.
Центр масс пространственной фигуры
Методология получения координат центра масс пространственной фигуры G отличается тем, что возникают тройные интегралы, а статические моменты рассматриваются относительно координатных плоскостей. Необходимо также учитывать, что плотность не обязательно постоянна. Поэтому окончательный и самый общий ответ имеет вид.
Таким образом, определение координат центра масс является важным шагом в решении задач машиностроения, строительства и архитектуры. Используя интегральное исчисление, можно точно определить координаты центра массы и произвести необходимые расчеты.
