Как по точкам найти функцию
- Интерполяция дискретных данных с использованием полинома Лагранжа
- Определение степени полинома
- Определение общего вида функции
- Составление системы уравнений
- Представление системы уравнений в удобном виде
- Решение системы уравнений
- Нахождение функции по точкам
Интерполяция дискретных данных с использованием полинома Лагранжа
Во многих случаях данные статистики или измерений какого-либо процесса бывают представлены в виде набора дискретных значений. Но для того, чтобы на их основе построить непрерывный график, нужно по этим точкам найти функцию. Сделать это можно путем интерполяции. Для этого хорошо подходит полином Лагранжа.
Определение степени полинома
Первым шагом в процессе интерполяции является определение степени полинома, который будет использован для интерполирования. Этот полином имеет вид: Кn*Х^n + К(n-1)*Х^(n-1) +... + К0*Х^0. Число n здесь на 1 меньше количества известных точек с различными Х, через которые должна проходить результирующая функция. Поэтому просто пересчитайте точки и отнимите от полученного значения единицу.
Определение общего вида функции
Для определения общего вида функции используйте найденное на предыдущем шаге значение степени полинома. Поскольку Х^0 = 1, то она примет вид: f(Хn) = Кn*Х^n + К(n-1)*Х^ (n-1) +... + К1*Х + К0.
Составление системы уравнений
Следующим шагом является составление системы линейных алгебраических уравнений с целью нахождения коэффициентов интерполирующего полинома. Исходный набор точек задает ряд соответствий значений координат Хn искомой функции по оси абсцисс и оси ординат f(Хn). Поэтому поочередная подстановка величин Хn в полином, значение которого будет равно f(Хn), позволяет получить нужные уравнения.
Представление системы уравнений в удобном виде
Для решения системы линейных алгебраических уравнений удобно представить ее в виде, где значения (также известные) перенесены в левую часть уравнений. Вычислите значения Хn^n... Х1^2 и Х1...Хn, а затем подставьте их в уравнения.
Решение системы уравнений
Используйте любой известный способ решения системы линейных алгебраических уравнений, например, метод Гаусса или Крамера. В результате решения будут получены значения коэффициентов полинома Кn...К0.
Нахождение функции по точкам
Найдите функцию, подставив коэффициенты Кn...К0, найденные на предыдущем шаге, в полином Кn*Х^n + К(n-1)*Х^ (n-1) +... + К0*Х^0. Данное выражение и будет являться уравнением функции. Т.е. искомая f(Х) = Кn*Х^n + К(n-1)*Х^ (n-1) +... + К0*Х^0.
