Как посчитать количество комбинаций
- Количество перестановок N элементов в ряду
- Количество размещений M элементов из N
- Количество размещений M элементов из N
- Количество сочетаний M элементов из N
Количество перестановок N элементов в ряду
Дана задача о расположении N элементов в ряд. Нужно определить, сколькими способами это можно сделать. Если в ряду содержатся все N элементов, и ни один не повторяется, то решение можно найти с помощью простых рассуждений. На первом месте может стоять любой из N элементов, на втором - любой, кроме уже использованного для первого места. Для каждого уже найденного варианта на первом месте есть (N-1) вариант на втором месте, и так далее. Для последнего места остается только один вариант - последний оставшийся элемент. Для предпоследнего - два варианта и так далее. Итак, для ряда из N неповторяющихся элементов количество возможных перестановок равно произведению всех чисел от 1 до N. Это произведение называется факториалом числа N и обозначается N!.
Количество размещений M элементов из N
В случае, когда в ряду меньше мест, чем возможных элементов, задача может иметь два различных варианта. Во-первых, может потребоваться определить общее количество способов, которыми можно выстроить в ряд M элементов из N. Такие способы называются размещениями. Во-вторых, исследователя может интересовать число способов выбрать M элементов из N, где порядок уже не имеет значения, но любые два варианта должны отличаться хотя бы одним элементом. Такие способы называются сочетаниями.
Количество размещений M элементов из N
Чтобы найти количество размещений по M элементов из N, можно использовать те же рассуждения, что и в случае с перестановками. На первом месте может стоять N элементов, на втором (N-1), и так далее. Но для последнего места количество вариантов равно (N-M+1), так как после окончания размещения останется еще (N-M) неиспользованных элементов. Таким образом, количество размещений по M элементов из N равно произведению всех чисел от (N-M+1) до N, или N!/(N-M)!.
Количество сочетаний M элементов из N
Очевидно, что количество сочетаний по M элементов из N будет меньше количества размещений. Для каждого сочетания есть M! возможных размещений, зависящих от порядка элементов. Чтобы найти количество сочетаний, нужно разделить число размещений по M элементов из N на N!. Итак, количество сочетаний по M элементов из N равно N!/(M!*(N-M)!).
