Как посчитать предел
- Предел функции и его вычисление
- Обозначение предела функции
- Предел функции f(x) в точке a будем обозначать lim (f(x)), x → a.
- Предел непрерывной функции
- Для любой функции, непрерывной в точке a, lim (f(x)), x → a = f(a).
- Предел суммы функций и произведения функций
- Предел частного функций
- Раскрытие неопределенности типа 0/0
- Раскрытие неопределенности типа ∞/∞
- Правило Лопиталя
- Вывод
Предел функции и его вычисление
Пределом функции f(x) при x, стремящемся к некоторому числу a, называется такое число b, когда для каждого положительного числа ε можно указать положительное число δ, удовлетворяющее условию: если |x - a| < ε, то |f(x) - b| < δ. Задача вычисления предела часто встречается в математическом анализе.
Обозначение предела функции
Предел функции f(x) в точке a будем обозначать lim (f(x)), x → a.
Предел непрерывной функции
Для любой функции, непрерывной в точке a, lim (f(x)), x → a = f(a).
Предел суммы функций и произведения функций
Предел суммы функций при x → a равен сумме пределов этих функций при x → a, то есть lim (f(x) + g(x)), x → a = lim (f(x)), x → a + lim (g(x)), x → a. Например, lim (3x^2 + 8x), x → 2 равен 28.
Предел произведения функций при x → a равен произведению пределов этих функций при x → a, то есть lim (f(x)*g(x)), x → a = (lim (f(x)), x → a) * (lim (g(x)), x → a). Например, lim (sin(x)*cos(x)), x → 0 равен 0.
Предел частного функций
Предел частного функций при x → a равен частному от деления их пределов, но только в том случае, если предел знаменателя не равен нулю: lim (f(x)/g(x)), x → a = (lim (f(x)), x → a) / (lim (g(x)), x → a), если lim (g(x)), x → a ≠ 0. Например, lim ((5x + 8)/(x - 2)), x → 4 равен 14.
Раскрытие неопределенности типа 0/0
Если lim (f(x)), x → a = 0 и lim (g(x)), x → a = 0, то при вычислении предела частного этих функций в точке a, возникает неопределенность типа 0/0. Чтобы ее устранить, нужно постараться разложить числитель и знаменатель на множители и сократить те из них, которые обращаются в ноль при x = a. Например, lim ((x^2 - 9)/(x - 3)), x → 3 равен 6.
Раскрытие неопределенности типа ∞/∞
Если lim (f(x)), x → a = ±∞ и lim (g(x)), x → a = ±∞, то при вычислении предела частного этих функций в точке a, возникает неопределенность типа ∞/∞. Эту неопределенность можно устранить, упростив выражение или разделив числитель и знаменатель на x в наибольшей степени, присутствующей в выражении, и попытаться вычислить предел согласно правилам. Например, lim (x^2/(x - 5)), x → ∞ равен ∞.
Правило Лопиталя
Если числитель и знаменатель частного f(x)/g(x) одновременно стремятся к нулю или бесконечности при x → a, то для раскрытия неопределенности можно воспользоваться правилом Лопиталя. Согласно этому правилу, предел частного функций в точке a равен пределу частного их производных в той же точке, то есть lim (f(x)/g(x)), x → a = lim (f′(x)/g′(x)), x → a. Например, lim (x^2/(x - 5)), x → ∞ равен ∞.
Вывод
Вычисление пределов функций при x, стремящемся к некоторому числу a, является важной задачей в математическом анализе. Для вычисления пределов используются различные правила и методы, такие как правила суммы, произведения и частного функций, а также правило Лопиталя. Устранение неопределенностей типа 0/0 и ∞/∞ позволяет получить точное значение предела функции.
