Как построить график параболы
- Аналитическое исследование параболической функции
- Определение области определения функции
- Нахождение вершины параболы
- Определение направления ветвей параболы
- Определение множества значений функции
- Уравнение для оси симметрии параболы
- Нахождение "нулей" функции
- Нахождение дополнительных точек для построения параболы
- Начертание графика функции x=A·y²+B·y+C
Аналитическое исследование параболической функции
Парабола является графиком квадратичной функции вида y=A·x²+B·x+C. Перед построением графика необходимо провести аналитическое исследование функции.
Определение области определения функции
Первым шагом в аналитическом исследовании параболы является определение области определения функции D(y). Парабола определена на всей числовой прямой, если не задано никаких дополнительных условий. Обычно это указывается записью D(y)=R, где R – множество всех действительных чисел.
Нахождение вершины параболы
Вторым шагом является нахождение вершины параболы. Координата по оси абсцисс x0=-B/2A. Подставив x0 в уравнение параболы, можно найти координату вершины по оси ординат Oy. Полученные значения обозначаются как (x0;y0) – координаты вершины параболы.
Определение направления ветвей параболы
Сравнивая старший коэффициент A при x² с нулем, можно сделать вывод о направлении ветвей параболы. Если A>0, то ветви параболы направлены вверх. При отрицательном значении числа A ветви параболы направлены вниз.
Определение множества значений функции
Теперь можно найти множество значений функции E(y). Если ветви направлены вверх, функция y принимает все значения выше y0. При направлении ветвей вниз функция принимает значения ниже y0. Для первого случая запишем: E(y)=[y0,+∞), а для второго случая – E(y)=(-∞;y0]. Квадратная скобка говорит о том, что крайнее число включается в промежуток.
Уравнение для оси симметрии параболы
Уравнение для оси симметрии параболы будет иметь вид: x=x0 и проходить через вершину. Ось симметрии следует начертить строго перпендикулярно оси Ox.
Нахождение "нулей" функции
"Нули" функции представляют собой точки пересечения параболы с координатными осями. Для их нахождения необходимо приравнять x нулю и посчитать y для этого случая. Затем следует найти значения аргумента, при которых функция y обращается в нуль. Для этого решается квадратное уравнение A·x²+B·x+C=0. Полученные точки следует отметить на графике.
Нахождение дополнительных точек для построения параболы
Дополнительные точки для построения параболы могут быть найдены путем составления таблицы значений. Первая строка таблицы содержит значения аргумента x, а вторая строка – соответствующие значения функции y. При выборе чисел для таблицы предпочтительно использовать целые значения, так как дробные числа могут быть неудобны для изображения. Полученные точки следует также отметить на графике.
Начертание графика функции x=A·y²+B·y+C
Иногда может потребоваться построить график функции x=A·y²+B·y+C. В этом случае не следует пытаться выразить y через x. Просто необходимо поменять местами функцию и аргумент и провести аналогичное аналитическое исследование. Парабола в данном случае будет "лежать" боком.
