Главная Войти О сайте

Как построить полином

В поставленном вопросе отсутствуют сведения о требующемся полиноме. Вообще-то, полином является обыкновенным многочленом вида Pn(x)=Cnx^n+C(n-1)x^(n-1)+…+C1x+C0. В данной статье будет рассмотрен многочлен Тейлора.Как построить полином

Пусть функция y=f(x) имеет в точке a производные до n-го порядка включительно. Многочлен следует искать в виде:Тn(x)= C0 + C1(x-a)+C2(x-a)^2+C3(x-a)^3+…+C(n-2)(x-a)^2+C1(x-a)+C0,(1)значения которого в х=а совпадают с f(a).f(a)=Tn(a),f’(a)=T’n(a),f’’(a)=T’’n(a),…, f^(n)(a)=(T^n)n(a).(2)Для нахождения многочлена требуетсяопределить его коэффициенты Сi.По формуле (1)значение многочлена Tn(x)в точке a: Tn(a)=C0. При этом из (2) следует f(a)=Tn(a),поэтомуС0=f(a). Здесьf^n и T^n n-е производные.

Дифференцируяравенство (1), найдите значение производной Т’n(x) в точке a:Т’n(x)=С1+2С2(x-a)+3C3(x-a)^2+…+nCn(x-a)^(n-1), f’(a)=T’n(a)=С1.Таким образом, С1= f’(a).Теперь продифференцируйте (1) еще раз и положите в производной T’’n(х) в точке х=а. Т’’n(x)=2С2+3C3(x-a)+4C4(x-a)^2+…+n(n-1)Cn(x-a)^(n-2), f’(a)=T’n(a)=С2.Таким образом, С2= f’’(a).Повторите действия еще раз и найдите С3.Т’’’n(x)=(2)(3C3(x-a)+3(4)C4(x-a)^2+…+n(n-1)(n-a)Cn(x-a)^(n-3),f’’’(a)=T’’’n(a)=2(3)С2.Таким образом, 1*2*3*С3= 3!C3=f’’’(a). C3=f’’’(a)/3!

Процесс следует продолжать вплотьдо n-й производной, где получите:(T^n)n(х)= 1*2*3*…(n-1)*nСn= n!C3=f^n(a). Cn= f^(n)(a)/n!.Таким образом, искомый многочлен имеет вид:Тn(x)= f(a)+f’(a)(x-a)+(f’’(a)/2)(x-a)^2+(f’’’(a)/3!)(x-a)^3+…+(f^(n)(a)/n!)(x-a)^n.Этот многочлен называется многочленом Тейлора функции f(x)по степеням (x-a). Многочлен Тейлора обладает свойством (2).

Пример. Представить многочлен P(x) =x^5-3x^4+4x^2 +2x -6 полиномом третьего порядка Т3(х) по степеням (х+1).Решение. Следует искать решение в виде Т3(х)=С3(x+1)^3+С2(x+1)^2+С1(x+1)+С0. а=-1. Коэффициенты разложения ищите на основе полученных формул.C0=P(-1)=-8, C1=P’(-1)=5(-1)^4-12(-1)^3+8(-1)+2=11, C2=(1/2)P’’(-1)=(1/2)(20(-1)^3-36(-1)^2-8)=-32,C3=(1/6)P’’’(-1)=(1/6)(60(-1)^2-72(-1))=22. Ответ. Соответствующий полином 22(x+1)^3-32(x+1)^2+11(x+1)-8.


CompleteRepair.Ru