Как построить полином
- Многочлен Тейлора и его свойства
- Определение многочлена Тейлора
- Коэффициенты многочлена Тейлора
- C0=f(a), C1=f’(a), C2=f’’(a)/2, C3=f’’’(a)/3!, ..., Cn=f^(n)(a)/n!
- Пример использования многочлена Тейлора
- Итак, многочлен Т3(х) имеет вид: 22(x+1)^3-32(x+1)^2+11(x+1)-8.
- Заключение
Многочлен Тейлора и его свойства
Многочлены являются важным понятием в математике и науке. Они используются для аппроксимации функций и решения различных задач. Один из видов многочленов - многочлен Тейлора, который позволяет приближенно представить функцию в виде полинома.
Определение многочлена Тейлора
Многочлен Тейлора представляет собой полином, который приближенно представляет функцию в некоторой точке. Он имеет вид:
Тn(x)= f(a)+f’(a)(x-a)+(f’’(a)/2)(x-a)^2+(f’’’(a)/3!)(x-a)^3+…+(f^(n)(a)/n!)(x-a)^n
Здесь f(a) - значение функции в точке a, f’(a) - значение первой производной функции в точке a, f’’(a) - значение второй производной функции в точке a и т.д. n - порядок многочлена Тейлора.
Коэффициенты многочлена Тейлора
Для нахождения коэффициентов многочлена Тейлора требуется определить производные функции в точке a и подставить их значения в формулу. Коэффициенты многочлена вычисляются по следующим формулам:
C0=f(a), C1=f’(a), C2=f’’(a)/2, C3=f’’’(a)/3!, ..., Cn=f^(n)(a)/n!
Здесь f^n и T^n обозначают производные функции f(x) и многочлена Тейлора соответственно.
Пример использования многочлена Тейлора
Для наглядного примера рассмотрим задачу о представлении многочлена P(x) =x^5-3x^4+4x^2 +2x -6 в виде многочлена Тейлора третьего порядка Т3(х) по степеням (х+1).
Следуя формулам, находим коэффициенты многочлена Т3(х): C0=P(-1)=-8, C1=P’(-1)=11, C2=(1/2)P’’(-1)=-32, C3=(1/6)P’’’(-1)=22.
Итак, многочлен Т3(х) имеет вид: 22(x+1)^3-32(x+1)^2+11(x+1)-8.
Заключение
Многочлен Тейлора является важным инструментом при аппроксимации функций. Он позволяет представить функцию в виде полинома и получить приближенное значение функции в некоторой точке. Используя формулы для определения коэффициентов многочлена Тейлора, можно точно вычислить его значения.
