Главная Войти О сайте

Как привести к каноническому виду уравнение

Как привести к каноническому виду уравнение

Содержание:
  1. Приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду
  2. Уравнение плоской кривой второго порядка
  3. Поворот системы координат
  4. Получение канонического уравнения
  5. Пример преобразования к каноническому виду
  6. Подстановка в условие задачи
  7. Приведение к каноническому виду

Приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду

Когда ставится вопрос о приведении уравнения кривой к каноническому виду, как правило, речь идет о кривых второго порядка, таких как эллипс, парабола и гипербола. Канонический вид записи этих кривых имеет простую форму, что позволяет сразу определить, о какой кривой идет речь. Поэтому задача приведения уравнений второго порядка к каноническому виду становится актуальной.

Уравнение плоской кривой второго порядка

Уравнение плоской кривой второго порядка имеет вид: A∙x^2 + B∙x∙y + C∙y^2 + 2D∙x + 2E∙y + F = 0. При этом коэффициенты A, B и С не равны нулю одновременно. Если B = 0, то задача сводится к параллельному переносу системы координат. Алгебраически это можно сделать путем выделения полных квадратов в исходном уравнении.

Поворот системы координат

Если B не равно нулю, каноническое уравнение можно получить путем поворота системы координат. Геометрический способ поворота системы координат показан на рисунке 1. Из рисунка можно заключить, что x=u∙cosφ – v∙sinφ, y=u∙sinφ+v∙cosφ.

Получение канонического уравнения

Для получения канонического уравнения в новых координатах требуется иметь коэффициент общего уравнения кривой второго порядка B1=0. Это достигается выбором угла φ на основе равенства: 2B∙cos2φ=(A-C)∙sin2φ.

Пример преобразования к каноническому виду

Рассмотрим пример преобразования уравнения x^2+x∙y+y^2-3∙x-6y+3=0 к каноническому виду. Значения коэффициентов уравнения: A=1, 2B=1, C=1, 2D=-3, 2E=-6, F=3. Найдем угол поворота φ. Путем вычислений получаем sinφ=1/√2 и cosφ=1/√2. Запишем формулы преобразования координат: x=(1/√2)∙u-(1/√2)∙v, y=(1/√2)∙u+(1/√2)∙v.

Подстановка в условие задачи

Подставим новые координаты в исходное уравнение и проведем вычисления: [(1/√2)∙u-(1/√2)∙v]^2+[(1/√2)∙u-(1/√2)∙v]∙[(1/√2)∙u+ (1/√2)∙v]+[(1/√2)∙u+(1/√2)∙v]^2-3∙[(1/√2)u-(1/√2)∙v]-6∙[(1/√2)∙u+(1/√2)∙v]+ +3=0, откуда 3u^2+v^2-9√2∙u+3√2∙v+6=0.

Приведение к каноническому виду

Для параллельного переноса системы координат обозначим X=u-3/√2 и Y=v+3/√2. Выделим полные квадраты и получим: 3(u-3/√2)^2-27/2+(v+3/√2)^2-9/2+6=0. В новых координатах уравнение принимает вид 3X^2+Y^2=12, что является уравнением эллипса.

Таким образом, приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду может быть выполнено с использованием алгебраических и геометрических методов, что позволяет легко определить вид и свойства кривой.


CompleteRepair.Ru