Главная Войти О сайте












Как привести к каноническому виду уравнение

Когда ставится вопрос о приведении уравнения кривой к каноническому видуто, как правило, имеются в виду кривые второго порядка. Это эллипс, парабола и гипербола. Простейший способ их записи (канонический) хорош тем, что здесь можно сразу определиться с тем, о какой кривой идет речь. Поэтому становится актуальной задача приведения уравнений второго порядка к каноническому виду.Как привести к каноническому виду уравнение

Уравнение плоской кривой второго порядка имеет вид:A∙x^2 + B∙x∙y + C∙y^2 + 2D∙x + 2E∙y + F = 0.(1)При этом коэффициенты A, B и С не равны нулю одновременно. Если В=0, то весь смысл задачи приведения к каноническому виду сводится к параллельному переносу системы координат. Алгебраически - это выделение полных квадратов в исходном уравнении.

При В не равном нулю каноническое уравнение можно получить лишь при подстановках, фактически означающих поворот системы координат. Рассмотрите геометрический способ (см. рис. 1). Иллюстрация на рис. 1 позволяет заключить, что x=u∙cosφ – v∙sinφ, y=u∙sinφ+v∙cosφ.

Дальнейшие подробные и громоздкие выкладки опущены. В новых координатах v0u требуется иметь коэффициент общего уравнения кривой второго порядка B1=0, что достигается выбором угла φ. Сделайте это на основе равенства: 2B∙cos2φ=(A-C)∙sin2φ.

Дальнейшее решение удобнее проводить на конкретном примере.Пример. Преобразовать к каноническому виду уравнение x^2+x∙y+y^2-3∙x-6y+3=0.Решение. Выпишите значения коэффициентов уравнения (1): A=1, 2B=1, C=1, 2D=-3, 2E=-6, F=3.Найдите угол поворота φ. Здесь cos2φ=0 и следовательно sinφ=1/√2, cosφ=1/√2.Запишите формулы преобразования координат: x=(1/√2)∙u-(1/√2)∙v, y=(1/√2)∙u+(1/√2)∙v.

Подставьте последнее в условие задачи. Получите: [(1/√2)∙u-(1/√2)∙v]^2+[(1/√2)∙u-(1/√2)∙v]∙[(1/√2)∙u+ (1/√2)∙v]+[(1/√2)∙u+(1/√2)∙v]^2-3∙[(1/√2)u-(1/√2)∙v]-6∙[(1/√2)∙u+(1/√2)∙v]+ +3=0, откуда 3u^2+v^2-9√2∙u+3√2∙v+6=0.

Для параллельного переноса системы координат u0v, выделите полные квадраты и получите3(u-3/√2)^2-27/2+(v+3/√2)^2-9/2+6=0. Обозначьте X=u-3/√2, Y=v+3/√2. В новых координатах уравнение имеет вид 3X^2+Y^2=12 или X^2/(2^2)+Y^2/((2√3)^2). Это эллипс.


CompleteRepair.Ru