Как привести матрицу к ступенчатому виду
- Приведение матрицы к ступенчатому виду
- Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду
- Пример приведения матрицы к ступенчатому виду
- Для наглядного примера рассмотрим матрицу A:
- [1 3 2 4] [0 2 1 5] [0 0 3 6] [0 0 0 7]
- Шаги приведения матрицы к ступенчатому виду
- Полезные советы
Приведение матрицы к ступенчатому виду
В линейной алгебре для определения ранга матрицы, нахождения её определителя и обратной матрицы необходимо привести заданную матрицу к ступенчатому виду. Матрицы ступенчатого вида также удобны для выполнения других операций над матрицами.
Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду
В линейной алгебре существует теорема, согласно которой любая матрица может быть приведена к ступенчатому виду с помощью следующих элементарных преобразований:
- Перемена местами двух строк матрицы;
- Прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на число.
Пример приведения матрицы к ступенчатому виду
Для наглядного примера рассмотрим матрицу A:
[1 3 2 4] [0 2 1 5] [0 0 3 6] [0 0 0 7]
Шаги приведения матрицы к ступенчатому виду
Для начала рассмотрим строки матрицы и определим, какие из них можно поменять местами для удобства последующих вычислений. В примере с матрицей A удобно поменять местами первую и вторую строки, чтобы первый элемент первой строки был равен 1 и вторая строка уже соответствовала ступенчатому виду.
Далее обнулим все первые элементы столбцов, кроме первой строки. В матрице A это можно сделать, умножив первую строку на соответствующее число и вычтя получившуюся строку из остальных строк. Продолжая преобразования, мы обнулим все вторые элементы строк, начиная со третьей строки. Для этого также будем умножать одну строку на число и вычитать из других строк.
В конце произведем последнее преобразование, чтобы обнулить третий элемент четвертой строки. Умножим третью строку на число и вычтем из четвертой строки.
Полезные советы
Если числа строк матрицы небольшие или удобные для проведения вычислений, можно выполнять сразу несколько операций за один шаг. Однако, в других случаях рекомендуется записывать каждый шаг приведения матрицы к ступенчатому виду отдельно.
В интернете можно найти программы, которые приводят матрицу к ступенчатому виду. Их использование может быть очень удобным для проверки получившегося результата.
