Главная Войти О сайте

Как привести уравнение кривой к каноническому виду

Как привести уравнение кривой к каноническому виду

Содержание:
  1. Приведение уравнения кривой к каноническому виду
  2. Поворот системы координат
  3. Типы кривых второго порядка
  4. Каноническое уравнение параболы 2px=y^2, где p - параметр параболы.
  5. Процедура приведения к каноническому виду
  6. Примеры

Приведение уравнения кривой к каноническому виду

Когда ставится вопрос о приведении уравнения кривой к каноническому виду, обычно имеются в виду кривые второго порядка. Плоской кривой второго порядка называется линия, описываемая уравнением вида: Ax^2 + Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, где A, B, C, D, E, F - некоторые постоянные коэффициенты, причем A, B, C одновременно не равны нулю.

Поворот системы координат

Сразу следует отметить, что приведение к каноническому виду в самом общем случае требует поворота системы координат, что потребует привлечения достаточно большого количества дополнительных сведений. Поворот системы координат может потребоваться, если коэффициент B отличен от нуля.

Типы кривых второго порядка

Существуют три типа кривых второго порядка: эллипс, гипербола и парабола.

Каноническое уравнение эллипса: (x^2)/(a^2)+ (y^2)/(b^2)=1, где a и b - полуоси эллипса.

Каноническое уравнение гиперболы: (x^2)/(a^2)- (y^2)/(b^2)=1, где a и b - полуоси гиперболы.

Каноническое уравнение параболы 2px=y^2, где p - параметр параболы.

Процедура приведения к каноническому виду

Процедура приведения к каноническому виду (при коэффициенте B=0) предельно проста. Проводятся тождественные преобразования с целью выделения полных квадратов, если требуется - деление обеих частей уравнения на число. Таким образом, решение сводится к приведению уравнения к каноническому виду и определению типа кривой.

Примеры

Пример 1: Уравнение 9x^2+25y^2=225 может быть преобразовано к виду (x^2)/25+(y^2)/9=1. Это эллипс с полуосями a=5, b=3.

Пример 2: Уравнение 16x^2-9y^2-64x-54y-161=0 может быть приведено к виду (x-2)^2/(3^2)-(y+3)^2/(4^2) =1. Это уравнение гиперболы с центром в точке C(2,-3) и полуосями а=3, b=4.

Таким образом, приведение уравнения каноническому виду позволяет определить тип кривой и дает дополнительную информацию о ее свойствах.


CompleteRepair.Ru