Главная Войти О сайте












Как привести уравнение кривой к каноническому виду

Когда ставится вопрос о приведении уравнения кривой к каноническому видуто, как правило, имеются в виду кривые второго порядка. Плоской кривой второго порядка называется линия, описываемая уравнением вида: Ax^2 + Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, здесь A, B, C, D, E, F - некоторые постоянные (коэффициенты), причем A, B, C одновременно не равны нулю.
Как привести уравнение кривой к каноническому виду

Сразу следует оговориться, что приведение к каноническому виду в самом общем случае сопряжено с поворотом системы координат, что потребует привлечения достаточно большого количества дополнительных сведений. Поворот системы координат может потребоваться, если коэффициент В отличен от нуля.

Существуют три типа кривых второго порядка: эллипс, гипербола и парабола.
Каноническое уравнение эллипса: (x^2)/(a^2)+ (y^2)/(b^2)=1.
Каноническое уравнение гиперболы: (x^2)/(a^2)- (y^2)/(b^2)=1. Здесь а и b полуоси эллипса и гиперболы.
Каноническое уравнение параболы 2px=y^2 (p - просто ее параметр).
Процедура приведения к каноническому виду (при коэффициенте В=0) предельно проста. Проводятся тождественные преобразования с целью выделения полных квадратов, если требуется -деление обеих частей уравнения на число. Таким образом, решение сводится к приведению уравнения к каноническому виду и выяснению типа кривой.

Пример 1. 9x^2+25y^2=225.
Преобразуйте выражение к виду:(9x^2)/225)+(25y^2)/225)=1,
(9x^2)/(9*25)+(25y^2)/(9*25)=1,(x^2)/25+(y^2)/9=1,(x^2)/(5^2)+ (y^2)/(3^2)=1.Это эллипс с полуосями
a=5, b=3.
Пример 2. 16x^2-9y^2-64x-54y-161=0
Дополнив уравнение до полного квадрата по х и по у и преобразовав его к каноническому виду, получите:
(4^2)(x^2)-2*8*4x+8^2-(3^2)(y^2)-2*3*9y-(9^2)-161-64+81=0,
(4x-8)^2- (3y+9)^2-144=0, (4^2)(x-2)^2-(3^2)(y+3)^2=(4^2)(3^2).
(x-2)^2/(3^2)-(y+3)^2/(4^2) =1.
Этоуравнение гиперболы с центром в точке C(2,-3) и полуосями а=3, b=4.


CompleteRepair.Ru