Как разложить квадратное уравнение
- Разложение квадратного уравнения на множители
- Теорема Безу
- Корни квадратного уравнения
- Разложение квадратного уравнения
- Формула для нахождения корней
- Различные случаи разложения
- Теорема Виета
- Биквадратные многочлены
Разложение квадратного уравнения на множители
Квадратным уравнением называется уравнение вида A · x² + B · x + C. В зависимости от его корней, оно может иметь различное разложение на множители.
Теорема Безу
Теорема Безу гласит: если многочлен P(x) разделить на двучлен (x-a), где a - некоторое число, то остатком от такого деления будет являться P(a) - численный результат подстановки числа a в исходный многочлен P(x). Это свойство можно использовать для разложения квадратного уравнения на множители.
Корни квадратного уравнения
Корнем многочлена называется такое число, при подстановке которого в многочлен получается ноль. Если число a является корнем многочлена P(x), то P(x) делится на двучлен (x-a) без остатка. И наоборот, если многочлен делится на (x-a) без остатка, то его можно разложить на множители в виде: P(x) = k · (x-a), где k - некоторый коэффициент.
Разложение квадратного уравнения
Если найдены два корня квадратного уравнения - x1 и x2, то оно разложится по ним как: A · x² + B · x + C = A · (x-x1) · (x-x2). Это разложение позволяет нам легко выразить квадратное уравнение через его корни.
Формула для нахождения корней
Для нахождения корней квадратного уравнения можно использовать универсальную формулу: x(1,2) = [-B +/- √(B^2 - 4 · A · C)] / 2 · A. Дискриминант (B^2 - 4 · A · C) определяет количество и тип корней.
Различные случаи разложения
Если дискриминант (B^2 - 4 · A · C) больше нуля, то многочлен имеет два различных корня - x1 и x2. Если дискриминант равен нулю, то многочлен имеет один корень кратности два. В этом случае разложение выглядит так: A · x² + B · x + C = A · (x-x0) · (x-x0) = A · (x-x0)^2. Если же дискриминант меньше нуля, то разложить на множители такой многочлен невозможно, так как он не имеет действительных корней.
Теорема Виета
Для нахождения корней квадратного многочлена можно использовать также и теорему Виета: x1 + x2 = -B и x1 · x2 = C. Эта теорема утверждает, что сумма корней равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному коэффициенту.
Биквадратные многочлены
Кроме квадратных многочленов, можно разложить на множители и биквадратные многочлены. Биквадратным многочленом называется многочлен вида A · x^4 + B · x^2 + C. Для разложения такого многочлена, можно заменить x^2 на y. Тогда получится квадратный трехчлен, который, в свою очередь, можно разложить на множители по уже известной формуле.
