Главная Войти О сайте

Как разложить квадратное уравнение

Квадратным уравнением называют уравнение вида A · x² + B · x + C. Такое уравнение может иметь два корня, один корень, или не иметь корней вовсе. Чтобы разложить квадратное уравнение на множители, используют следствие из теоремы Безу либо просто пользуются готовой формулой.Как разложить квадратное уравнение

Теорема Безу гласит: если многочлен P(x) разделить на двучлен (x-a), где a - некоторое число, то остатком от такого деления будет являться P(a) - численный результат подстановки числа a в исходный многочлен P(x).

Корнем многочлена называется такое число, при подстановке которого в многочлен получается ноль. Итак, если a является корнем многочлена P(x), то P(x) делится на двучлен (x-a) без остатка, т.к. P(a) = 0. А если многочлен делится на (x-a) без остатка, то его можно разложить на множители в виде:

P(x) = k · (x-a), где k - некоторый коэффициент.

Если найти два корня квадратного уравнения - x1 и x2, то оно разложится по ним как:

A · x² + B · x + C = A · (x-x1) · (x-x2).

Для поиска корней квадратного уравнения важно помнить универсальную формулу:

x(1,2) = [-B +/- √(B^2 - 4 · A · C)] / 2 · A.

Если выражение (B^2 - 4 · A · C), называемое дискриминантом, больше нуля, то многочлен имеет два различных корня - x1 и x2. Если дискриминант (B^2 - 4 · A · C) = 0, то многочлен имеет один корень кратности два. По сути, он имеет те же два действительных корня, но они совпадают. Тогда многочлен разложится так:

A · x² + B · x + C = A · (x-x0) · (x-x0) = A · (x-x0)^2.

Если дискриминант меньше нуля, т.е. многочлен не имеет действительных корней, то разложить на множители такой многочлен невозможно.

Чтобы найти корни квадратного многочлена, можно использовать не только универсальную формулу, но также и теорему Виета:

x1 + x2 = -B,
x1 · x2 = C.

Теорема Виета утверждает, что сумма корней квадратного трехчлена равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному коэффициенту.

Найти корни можно не только у квадратного многочлена, но и у биквадратного. Биквадратным многочленом называют многочлен вида A · x^4 + B · x^2 + C. Замените в заданном многочлене x^2 на y. Тогда вы получите квадратный трехчлен, который, опять же, можно разложить на множители:

A · x^4 + B · x^2 + C = A · y^2 + B · y + C = A · (y-y1) · (y-y2).


CompleteRepair.Ru