Главная Войти О сайте

Как разложить квадратное уравнение

Как разложить квадратное уравнение

Содержание:
  1. Разложение квадратного уравнения на множители
  2. Теорема Безу
  3. Корни квадратного уравнения
  4. Разложение квадратного уравнения
  5. Формула для нахождения корней
  6. Различные случаи разложения
  7. Теорема Виета
  8. Биквадратные многочлены

Разложение квадратного уравнения на множители

Квадратным уравнением называется уравнение вида A · x² + B · x + C. В зависимости от его корней, оно может иметь различное разложение на множители.

Теорема Безу

Теорема Безу гласит: если многочлен P(x) разделить на двучлен (x-a), где a - некоторое число, то остатком от такого деления будет являться P(a) - численный результат подстановки числа a в исходный многочлен P(x). Это свойство можно использовать для разложения квадратного уравнения на множители.

Корни квадратного уравнения

Корнем многочлена называется такое число, при подстановке которого в многочлен получается ноль. Если число a является корнем многочлена P(x), то P(x) делится на двучлен (x-a) без остатка. И наоборот, если многочлен делится на (x-a) без остатка, то его можно разложить на множители в виде: P(x) = k · (x-a), где k - некоторый коэффициент.

Разложение квадратного уравнения

Если найдены два корня квадратного уравнения - x1 и x2, то оно разложится по ним как: A · x² + B · x + C = A · (x-x1) · (x-x2). Это разложение позволяет нам легко выразить квадратное уравнение через его корни.

Формула для нахождения корней

Для нахождения корней квадратного уравнения можно использовать универсальную формулу: x(1,2) = [-B +/- √(B^2 - 4 · A · C)] / 2 · A. Дискриминант (B^2 - 4 · A · C) определяет количество и тип корней.

Различные случаи разложения

Если дискриминант (B^2 - 4 · A · C) больше нуля, то многочлен имеет два различных корня - x1 и x2. Если дискриминант равен нулю, то многочлен имеет один корень кратности два. В этом случае разложение выглядит так: A · x² + B · x + C = A · (x-x0) · (x-x0) = A · (x-x0)^2. Если же дискриминант меньше нуля, то разложить на множители такой многочлен невозможно, так как он не имеет действительных корней.

Теорема Виета

Для нахождения корней квадратного многочлена можно использовать также и теорему Виета: x1 + x2 = -B и x1 · x2 = C. Эта теорема утверждает, что сумма корней равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному коэффициенту.

Биквадратные многочлены

Кроме квадратных многочленов, можно разложить на множители и биквадратные многочлены. Биквадратным многочленом называется многочлен вида A · x^4 + B · x^2 + C. Для разложения такого многочлена, можно заменить x^2 на y. Тогда получится квадратный трехчлен, который, в свою очередь, можно разложить на множители по уже известной формуле.


CompleteRepair.Ru