Как решать арифметические прогрессии
- Арифметическая прогрессия: основные понятия и формулы
- Нахождение n-го члена арифметической прогрессии
- Нахождение первого члена арифметической прогрессии
- Нахождение разности арифметической прогрессии
- Нахождение суммы всех членов арифметической прогрессии
Арифметическая прогрессия: основные понятия и формулы
Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, где каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего члена путем прибавления одного и того же числа d, которое называется шагом или разностью прогрессии. В задачах, связанных с арифметическими прогрессиями, мы часто сталкиваемся с вопросами о нахождении первого члена, n-го члена, разности и суммы всех членов прогрессии. Давайте рассмотрим каждый из этих вопросов подробнее.
Нахождение n-го члена арифметической прогрессии
Если мы знаем первый член (A1) и разность (d) арифметической прогрессии, то мы можем найти любой ее член с помощью формулы n-го члена: An = A1 + d(n-1). Например, если A1 = 2 и d = 5, мы можем найти A5 и A10 следующим образом: A5 = 2 + 5(5-1) = 2 + 5*4 = 2 + 20 = 22, A10 = 2 + 5(10-1) = 2 + 5*9 = 2 + 45 = 47.
Нахождение первого члена арифметической прогрессии
Используя предыдущую формулу, мы также можем найти первый член арифметической прогрессии. Формула для нахождения A1 выглядит следующим образом: A1 = An - d(n-1). Например, если мы предположим, что A6 = 27 и d = 3, то A1 = 27 - 3(6-1) = 27 - 3*5 = 27 - 15 = 12.
Нахождение разности арифметической прогрессии
Чтобы найти разность (шаг) арифметической прогрессии, мы должны знать первый и n-ый члены прогрессии. Разность вычисляется по формуле d = (An - A1) / (n-1). Например, если A7 = 46 и A1 = 4, то d = (46 - 4) / (7-1) = 42/6 = 7. Если d > 0, то прогрессия называется возрастающей, если d < 0 - убывающей.
Нахождение суммы всех членов арифметической прогрессии
Сумму первых n членов арифметической прогрессии можно найти с помощью формулы Sn = (A1 + An)n/2, где Sn - сумма n членов прогрессии, A1 и An - первый и n-ый члены прогрессии соответственно. Например, если A1 = 4 и An = 46, то Sn = (4 + 46)7/2 = 50*7/2 = 350/2 = 175.
Нахождение суммы арифметической прогрессии при известном шаге и номере n-го члена
Если мы знаем шаг арифметической прогрессии и номер n-го члена, но не знаем самого n-го члена, мы можем использовать формулу Sn = (2A1 + (n-1)d*n) / 2 для нахождения суммы прогрессии. Например, если A1 = 5, n = 15 и d = 3, то Sn = (2*5 + (15-1)*3*15) / 2 = (10 + 14*45) / 2 = (10 + 630) / 2 = 640 / 2 = 320.
Обратите внимание: любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и следующего членов прогрессии: An = (An-1 + An+1) / 2.