Как решать двойные интегралы

Из курса математического анализа известно понятие двойного интеграла. Геометрически двойной интеграл представляет собой объём цилиндрического тела на основании D и ограниченного поверхностью z = f(x, y). С помощью двойных интегралов можно рассчитать массу тонкой пластины с заданной плотностью, площадь плоской фигуры, площадь куска поверхности, координаты центра тяжести однородной пластины и другие величины.

Решение двойных интегралов можно свести к вычислению определённых интегралов.
Если функция f(x, y) является замкнутой и непрерывной в некоторой области D, ограниченной линиейy = c и линией x = d, при этом c < d, а также функциями y = g(x) иy = z(x), при этом g(x), z(x) – непрерывны на [c; d] иg(x) ? z(x) на этом отрезке,то вычислить двойной интеграл можно по формуле, представленной на рисунке.

Если функция f(x, y) является замкнутой и непрерывной в некоторой области D, ограниченной линиейy = c и линией x = d, при этом c < d, а также функциями y = g(x) иy = z(x), при этом g(x), z(x) – непрерывны на [c; d] иg(x) = z(x) на этом отрезке,то вычислить двойной интеграл можно по формуле, представленной на рисунке.

Если необходимо вычислить двойной интеграл на более сложных областях D, то область D разбивается на части, каждая из которых представляет собой область, представленную в пункте 1 или 2. Рассчитывается интеграл на каждой из этих областей, полученные результаты суммируются.