Как решать линейные уравнения с гауссом

Для решения поставленной задачи потребуется понятие ранга матрицы, а также теорема Кронекера-Капелли. Рангом матрицы называется размерность наибольшего отличного от нуля определителя, который можно выделить из матрицы.
Вам понадобится

Теорема Кронекера-Капелли звучит следующим образом: для того чтобы система линейных уравнений (1) была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу матрицы системы. Система т линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет вид (см. рис. 1), где аij – коэффициенты системы, хj – неизвестные, bi – свободные члены (i=1, 2, ... , т; j=1, 2, ... , п).

Метод Гаусса

Метод Гаусса заключается в том, что исходную систему путем исключения неизвестных преобразуют к ступенчатому виду. При этомэквивалентные линейные преобразования выполняются над строками в расширенной матрице.

Методсостоит из прямого и обратного ходов. Прямым ходомявляется приведение расширенной матрицы системы (1) к ступенчатому виду путем элементарных преобразований над строками. После чего происходит исследование системы на совместность и определенность. Затем по ступенчатой матрице восстанавливается система уравнений. Решение этой ступенчатой системы уравнений является обратным ходом метода Гаусса, в котором, начиная с последнего уравнения, последовательно вычисляются неизвестные с большим порядковым номером, и их значения подставляются в предыдущее уравнение системы.

Исследование системы в конце прямого хода производится по теореме Кронекера-Капелли сравнением рангов матрицы системы А (rangA) и расширенной матрицы А’ (rang(A’).

Следует рассмотреть реализацию метода Гаусса на примере.
Пример. Решить систему уравнений (см. рис.2).

Решение. Решите систему методом Гаусса. Выпишете расширенную матрицу системы и приведите ее к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк (прямой ход). Строки только складываются,с учетом указанных сбоку коэффициентов и на направления, заданных перпендикуляров со стрелками (см. рис. 3), поэтому система совместна и имеет единственное решение, то естьявляется определенной.

Составьте систему ступенчатого вида и решите ее (обратный ход). Решение приведено на рис.4. Проверку легко сделать методом подстановки.

Ответ:x=1, y=-2, z=3.

Если число уравнений меньше числа переменных, то возникают свободные неизвестные, обозначаемые свободными постоянными. На стадии обратного хода через них выражаются все прочие неизвестные.