Как решать линейные уравнения с гауссом
- Ранг матрицы и теорема Кронекера-Капелли
- Метод Гаусса
- Исследование системы
- Пример решения системы методом Гаусса
- Пример. Решить систему уравнений.
- Решение системы методом Гаусса
- Решение системы обратным ходом
- Свободные неизвестные
Ранг матрицы и теорема Кронекера-Капелли
Для решения поставленной задачи потребуется понятие ранга матрицы, а также теорема Кронекера-Капелли. Рангом матрицы называется размерность наибольшего отличного от нуля определителя, который можно выделить из матрицы.
Метод Гаусса
Метод Гаусса заключается в том, что исходную систему путем исключения неизвестных преобразуют к ступенчатому виду. При этом эквивалентные линейные преобразования выполняются над строками в расширенной матрице. Метод состоит из прямого и обратного ходов.
Исследование системы
Исследование системы в конце прямого хода производится по теореме Кронекера-Капелли сравнением рангов матрицы системы А (rangA) и расширенной матрицы А’ (rang(A’). Следует рассмотреть реализацию метода Гаусса на примере.
Пример решения системы методом Гаусса
Пример. Решить систему уравнений.
Решение системы методом Гаусса
Решите систему методом Гаусса. Выпишете расширенную матрицу системы и приведите ее к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк (прямой ход). Строки только складываются, с учетом указанных сбоку коэффициентов и на направления, заданных перпендикуляров со стрелками, поэтому система совместна и имеет единственное решение, то есть является определенной.
Решение системы обратным ходом
Составьте систему ступенчатого вида и решите ее (обратный ход). Решение приведено на рис.4. Проверку легко сделать методом подстановки. Ответ: x=1, y=-2, z=3.
Свободные неизвестные
Если число уравнений меньше числа переменных, то возникают свободные неизвестные, обозначаемые свободными постоянными. На стадии обратного хода через них выражаются все прочие неизвестные.