Как решать системы линейных уравнений

Содержание:

1. Метод подстановки или последовательного исключения
2. Пример решения системы с двумя неизвестными
3. Таким образом, решение системы состоит из значений x = 2 и y = 1.
4. Метод почленного вычитания (или сложения)
5. Пример решения системы с использованием метода почленного вычитания
6. Подставив найденное значение y в любое уравнение, найдем x.
7. Таким образом, решение системы состоит из значений x = 2 и y = 1.
8. В результате использования обоих методов получаем одинаковые ответы.

Метод подстановки или последовательного исключения

Система линейных уравнений содержит уравнения, в которых все неизвестные содержатся в первой степени. Есть несколько способов решения такой системы. Один из них - метод подстановки или последовательного исключения. Этот метод используется в системе с небольшим количеством неизвестных и является простейшим способом решения для несложных систем.

Пример решения системы с двумя неизвестными

Рассмотрим пример системы с двумя неизвестными:
x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0

Сначала из первого уравнения выразим одно неизвестное через другие. Выразим x: x = 3 - y. Подставим это выражение во второе уравнение: 2(3 - y) - y - 3 = 0. Упростим уравнение и найдем значение y: 6 - 2y - y - 3 = 0. Получим, что y = 1.

Затем подставим найденное значение y в первое уравнение системы (или в выражение для x): x + 1 - 3 = 0. Решим уравнение и найдем значение x: x = 2.

Таким образом, решение системы состоит из значений x = 2 и y = 1.

Метод почленного вычитания (или сложения)

Еще один метод решения системы линейных уравнений - метод почленного вычитания или сложения. Этот метод позволяет сократить время решения системы и упростить вычисления.

Пример решения системы с использованием метода почленного вычитания

Рассмотрим ту же систему, что и в первом методе:
x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0

Легко видеть, что при y стоят одинаковые по модулю коэффициенты, но с разным знаком. Поэтому, если сложить два уравнения почленно, то y можно исключить. Выполним сложение: x + 2x + y - y - 3 - 3 = 0 или 3x - 6 = 0. Таким образом, получаем, что x = 2.

Можно также исключить x, умножив первое уравнение на 2:
2x + 2y - 6 = 0
2x - y - 3 = 0

Теперь почленно вычтем из первого уравнения второе: 2x - 2x + 2y - (-y) - 6 - (-3) = 0 или, приведя подобные, 3y - 3 = 0. Таким образом, y = 1.

Подставив найденное значение y в любое уравнение, найдем x.

Таким образом, решение системы состоит из значений x = 2 и y = 1.

В результате использования обоих методов получаем одинаковые ответы.