Как решать степени
- Уравнения высшей степени: общая схема решения
- Шаг 1: Приведенное уравнение
- Шаг 2: Поиск целых корней
- Шаг 3: Разложение многочлена
- Шаг 4: Подстановка делителей
- Шаг 5: Нахождение корней младшей степени
- Вывод
Уравнения высшей степени: общая схема решения
Уравнения высшей степени - это уравнения, в которых старшая степень переменной больше 3. Существует общая схема для решения уравнений высших степеней с целыми коэффициентами.
Шаг 1: Приведенное уравнение
Очевидно, что если коэффициент при старшей степени переменной не равен 1, то можно разделить все члены уравнения на этот коэффициент и получить приведенное уравнение, поэтому сразу рассматривают приведенное уравнение. Общий вид уравнения высшей степени представлен на рисунке.
Шаг 2: Поиск целых корней
Первым делом находят целые корни уравнения. Целые корни уравнения высшей степени являются делителями a0 - свободного члена. Для их нахождения раскладывают a0 на множители (необязательно простые) и поочередно проверяют, какие из них являются корнями уравнения.
Шаг 3: Разложение многочлена
Когда находят среди делителей свободного члена такое x1, которое обращает многочлен в ноль, то можно представить исходный многочлен в виде произведения одночлена и многочлена степени n-1. Для этого исходный многочлен делят на x - x1 в столбик. Теперь общий вид уравнения изменился.
Шаг 4: Подстановка делителей
Далее продолжают подставлять делители a0, но уже в получившееся уравнение меньшей степени. Причем начинают с x1, так как у уравнения высшей степени могут быть кратные корни. Если находятся еще корни, то снова делят многочлен на соответствующие одночлены. Таким образом раскладывают многочлен так, чтобы получить в итоге произведение одночленов и многочлен степени 2, 3 или 4.
Шаг 5: Нахождение корней младшей степени
Находят корни многочлена младшей степени, пользуясь известными алгоритмами. Это нахождение дискриминанта для квадратного уравнения, формула Кардано для кубического уравнения и всевозможные замены, преобразования и формула Феррари для уравнений четвертой степени.
Вывод
Уравнения высшей степени могут быть решены с помощью общей схемы, которая включает поиск целых корней, разложение многочлена на множители и нахождение корней младшей степени. Однако стоит отметить, что не всегда возможно решить уравнение высшей степени таким способом. Для удобства рекомендуется использовать схему Горнера для записи коэффициентов многочленов меньшей степени и приведение уравнения к приведенному виду, если коэффициенты дробные.
