Вам понадобитсяПростейший пример таких преобразований – алгебраические формулы сокращенного умножения (такие как квадрат суммы (разности), разность квадратов, сумма (разность) кубов, куб суммы (разности)). Кроме того существует множество логарифмических и тригонометрических формул, которые по своей сути являются теми же тождествами.
Действительно, квадрат суммы двух слагаемых равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе и плюс квадрат второго, то есть (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^2=a^2+2ab+b^2.
Упростите выражение (a-b)^2 +4ab.(a-b)^2 +4ab= a^2-2ab+b^2 +4ab=a^2+2ab+b^2=(a+b)^2. В высшей математической школе, если разобраться, тождественные преобразования – первейшее из первейшего. Но там они считаются чем-то само собой разумеющимся. Цель их не всегда упрощение выражения, а иной раз и усложнение, с целью, как уже говорилось, достижения поставленной цели.
Любая правильная рациональная дробьможет быть представлена в виде суммы конечного числа простейшихдробей
Pm(x)/Qn(x)=A1/(x-a)+A2/(x-a)^2+…+Ak/(x-a)^k+…+(M1x+N1)/(x^2+2px+q) +…+ (M2x+N2)/(x^2+2px+q)^s.
Пример. Тождественными преобразованиями разложить на простейшие дроби (x^2)/(1-x^4).
Разложите выражение 1-х^4=(1-x)(1+x)(x^2+1).(x^2)/(1-x^4)=A/(1-x) + B/(x+1) +(Cx+D)/(x^2+1)
Приведите сумму к общему знаменателю и приравняйте числители дробей в обеих частях равенства.
X^2=A(x+1)(x^2+1) +B(1-x)(x^2+1)+(Cx+D)(1-x^2)
Заметьте, что:
Прих = 1:1 = 4А,А = 1/4;
Прих = - 1:1 = 4В,В = 1/4.
Коэффициентыприx^3:A-B-C=0, откуда С=0
Коэффициенты приx^2: A+B-D=1 и D=-1/2
Итак,(x^2)/(1-x^4)=1/(1-x) + 1/(4(x+1)) – 1/(2(x^2+1)).
