Как решать уравнение третьей степени
- Уравнения третьей степени: метод Кардано
- Общий вид уравнения третьей степени
- Метод Кардано
- Вычисление коэффициентов p и q
- Вычисление корней уравнения
- Подстановка корней
- Полезный совет
Уравнения третьей степени: метод Кардано
Уравнения третьей степени, также известные как кубические уравнения, являются уравнениями, в которых старшей степенью переменной x является куб (3).
Общий вид уравнения третьей степени
Кубическое уравнение в общем виде выглядит так: ax³ + bx² + cx + d = 0, где a не равно 0, а a, b, c, d - вещественные числа.
Метод Кардано
Универсальным методом решения уравнения третьей степени является метод Кардано. Для начала необходимо привести уравнение к виду y³ + py + q = 0. Для этого производится замена переменной x на y - b/3a.
Для раскрытия скобок используются две формулы сокращенного умножения: (a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ и (a-b)² = a² - 2ab + b². Затем подобные слагаемые группируются по степеням переменной y.
Вычисление коэффициентов p и q
Для получения при y³ единичного коэффициента, уравнение делится на a. Тогда получаем формулы для коэффициентов p и q.
Вычисление корней уравнения
Затем вычисляются специальные величины: Q, α, β, которые позволяют вычислить корни уравнения с y. Корни уравнения y³ + py + q = 0 вычисляются по соответствующим формулам.
Если Q > 0, то уравнение имеет один вещественный корень и два комплексных корня. Если Q = 0, то все корни вещественные, при этом два из них совпадают. Если Q < 0, то корни вещественные, но требуется умение извлекать корень из отрицательного числа.
Подстановка корней
После нахождения корней y1, y2 и y3, они подставляются в замену x = y - b/3a, чтобы найти корни первоначального уравнения.
Полезный совет
Если удается подобрать один из корней кубического уравнения x1, то можно разделить кубический многочлен на (x - x1) и решать получившееся квадратное уравнение.