Как решать уравнения высших степеней
- Разложение на множители - метод решения уравнений высших степеней
- Разложение на множители - шаг за шагом
- Пример решения уравнения с помощью разложения на множители
- Нахождение первого корня уравнения
- Упрощение уравнения
- Нахождение второго корня уравнения
- Упрощение уравнения до квадратного
- Нахождение комплексных корней
- Итоговый ответ
- Альтернативный метод - замена переменных
- Приведение биквадратного уравнения к квадратному
- Нахождение корней исходного уравнения
Разложение на множители - метод решения уравнений высших степеней
Решение большинства уравнений высших степеней не имеет четкой формулы, как нахождение корней квадратного уравнения. Однако существует несколько способов приведения, которые позволяют преобразовать уравнение высшей степени к более наглядному виду.
Разложение на множители - шаг за шагом
Наиболее распространенным методом решения уравнений высших степеней является разложение на множители. Этот подход представляет собой комбинацию подбора целочисленных корней, делителей свободного члена, и последующее деление общего многочлена на двучлен вида (x – x0).
Пример решения уравнения с помощью разложения на множители
Например, решим уравнение x^4 + x³ + 2·x² – x – 3 = 0. Свободным членом данного многочлена является -3, следовательно, его целочисленными делителями могут быть числа ±1 и ±3. Подставим их по очереди в уравнение и выясним, получится ли тождество.
Нахождение первого корня уравнения
Подставив первый предположительный корень, получаем: 1: 1 + 1 + 2 – 1 – 3 = 0. Итак, первый же предположительный корень дал правильный результат. Разделим многочлен уравнения на (x - 1).
Упрощение уравнения
Перепишем уравнение в новом виде (x - 1)·(x³ +2·x² + 4·x + 3) = 0. Наибольшая степень многочлена уменьшилась до третьей. Продолжим подбор корней уже для кубического многочлена.
Нахождение второго корня уравнения
Выполнив подбор, получим: 1: 1 + 2 + 4 + 3 ≠ 0; -1: -1 + 2 – 4 + 3 = 0. Второй корень x = -1. Поделим кубический многочлен на выражение (x + 1) и запишем получившееся уравнение (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0.
Упрощение уравнения до квадратного
Степень многочлена понизилась до второй, следовательно, уравнение может иметь еще два корня. Чтобы найти их, решим квадратное уравнение x² + x + 3 = 0.
Нахождение комплексных корней
Дискриминант уравнения равен -11, что означает отсутствие действительных корней. Однако, уравнение может иметь комплексные корни. Найдем их: x = (-2 + i·√11)/2 и x = (-2 – i·√11)/2.
Итоговый ответ
Итак, ответом на уравнение x^4 + x³ + 2·x² – x – 3 = 0 являются корни: x1,2 = ±1; x3,4 = -1/2 ± i·√11/2.
Альтернативный метод - замена переменных
Другой метод решения уравнения высшей степени – замена переменных для приведения его к квадратному. Такой подход используется, когда все степени уравнения четные, например: x^4 – 13·x² + 36 = 0.
Приведение биквадратного уравнения к квадратному
Для приведения этого уравнения к квадратному, сделаем замену y = x². Тогда получим уравнение: y² – 13·y + 36 = 0.
Нахождение корней исходного уравнения
Решив квадратное уравнение, найдем корни исходного уравнения: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.
