Главная Войти О сайте

Как решать уравнения высших степеней

Как решать уравнения высших степеней

Содержание:
  1. Разложение на множители - метод решения уравнений высших степеней
  2. Разложение на множители - шаг за шагом
  3. Пример решения уравнения с помощью разложения на множители
  4. Нахождение первого корня уравнения
  5. Упрощение уравнения
  6. Нахождение второго корня уравнения
  7. Упрощение уравнения до квадратного
  8. Нахождение комплексных корней
  9. Итоговый ответ
  10. Альтернативный метод - замена переменных
  11. Приведение биквадратного уравнения к квадратному
  12. Нахождение корней исходного уравнения

Разложение на множители - метод решения уравнений высших степеней

Решение большинства уравнений высших степеней не имеет четкой формулы, как нахождение корней квадратного уравнения. Однако существует несколько способов приведения, которые позволяют преобразовать уравнение высшей степени к более наглядному виду.

Разложение на множители - шаг за шагом

Наиболее распространенным методом решения уравнений высших степеней является разложение на множители. Этот подход представляет собой комбинацию подбора целочисленных корней, делителей свободного члена, и последующее деление общего многочлена на двучлен вида (x – x0).

Пример решения уравнения с помощью разложения на множители

Например, решим уравнение x^4 + x³ + 2·x² – x – 3 = 0. Свободным членом данного многочлена является -3, следовательно, его целочисленными делителями могут быть числа ±1 и ±3. Подставим их по очереди в уравнение и выясним, получится ли тождество.

Нахождение первого корня уравнения

Подставив первый предположительный корень, получаем: 1: 1 + 1 + 2 – 1 – 3 = 0. Итак, первый же предположительный корень дал правильный результат. Разделим многочлен уравнения на (x - 1).

Упрощение уравнения

Перепишем уравнение в новом виде (x - 1)·(x³ +2·x² + 4·x + 3) = 0. Наибольшая степень многочлена уменьшилась до третьей. Продолжим подбор корней уже для кубического многочлена.

Нахождение второго корня уравнения

Выполнив подбор, получим: 1: 1 + 2 + 4 + 3 ≠ 0; -1: -1 + 2 – 4 + 3 = 0. Второй корень x = -1. Поделим кубический многочлен на выражение (x + 1) и запишем получившееся уравнение (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0.

Упрощение уравнения до квадратного

Степень многочлена понизилась до второй, следовательно, уравнение может иметь еще два корня. Чтобы найти их, решим квадратное уравнение x² + x + 3 = 0.

Нахождение комплексных корней

Дискриминант уравнения равен -11, что означает отсутствие действительных корней. Однако, уравнение может иметь комплексные корни. Найдем их: x = (-2 + i·√11)/2 и x = (-2 – i·√11)/2.

Итоговый ответ

Итак, ответом на уравнение x^4 + x³ + 2·x² – x – 3 = 0 являются корни: x1,2 = ±1; x3,4 = -1/2 ± i·√11/2.

Альтернативный метод - замена переменных

Другой метод решения уравнения высшей степени – замена переменных для приведения его к квадратному. Такой подход используется, когда все степени уравнения четные, например: x^4 – 13·x² + 36 = 0.

Приведение биквадратного уравнения к квадратному

Для приведения этого уравнения к квадратному, сделаем замену y = x². Тогда получим уравнение: y² – 13·y + 36 = 0.

Нахождение корней исходного уравнения

Решив квадратное уравнение, найдем корни исходного уравнения: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.


CompleteRepair.Ru