Как решать задачи с работой по математике
- Развитие логического и интеллектуального мышления через решение задач
- Особенности задач "на работу"
- Примеры решения задач "на работу"
- Решение более сложных задач
- Полезные советы
Развитие логического и интеллектуального мышления через решение задач
Как утверждают многие источники, решение задач развивает логическое и интеллектуальное мышление. Задачи "на работу" являются одними из самых интересных. Для того, чтобы научиться решать такие задачи, необходимо уметь представлять процесс работы, о которой в них говорится.
Особенности задач "на работу"
Задачи "на работу" имеют свои особенности. Для их решения необходимо знать определения и формулы. В данном случае, формулы работы, производительности и времени представлены следующим образом:
- А = Р * t – формула работы;
- P = A / t – формула производительности;
- t = A / P – формула времени;
Важно запомнить, что если в условии задачи не указана работа, то ее можно принять за 1.
Примеры решения задач "на работу"
На примере разберем, как решаются задачи "на работу". Рассмотрим следующее условие: два рабочих, работая одновременно, вскопали огород за 6 часов. Первый рабочий мог бы выполнить ту же работу за 10 часов. За сколько часов второй рабочий может вскопать огород?
Решение: Примем всю работу за 1. Согласно формуле производительности, первый рабочий делает 1/10 работы за 1 час. За 6 часов он делает 6/10 работы. Следовательно, второй рабочий за 6 часов делает 4/10 работы (1 - 6/10). Мы определили, что производительность второго рабочего равна 4/10. Зная, что время совместной работы составляет 6 часов, можем решить уравнение и найти время, за которое второй рабочий может вскопать огород: 0,4х = 6, х = 6 / 0,4, х = 15. Ответ: второй рабочий может вскопать огород за 15 часов.
Рассмотрим еще один пример: для наполнения контейнера водой имеются три трубы. Первой трубе для наполнения контейнера необходимо времени в три раза меньше, чем второй, и на 2 часа больше, чем третьей. Три трубы, работая одновременно, наполнили бы контейнер за 3 часа, но по условиям эксплуатации одновременно могут работать только две трубы. Определите минимальную стоимость наполнения контейнера, если стоимость 1 часа работы одной из труб равна 230 рублей.
Решение: В данной задаче удобно использовать таблицу. Примем всю работу за 1. За Х возьмем время, необходимое третьей трубе. По условию первой трубе нужно на 2 часа больше, чем третьей. Тогда первой трубе понадобится (Х + 2) часа. А третьей трубе нужно в 3 раза больше времени, чем первой, то есть 3(Х + 2). Опираясь на формулу производительности, можно составить таблицу и решить уравнение:
Таблица:
Труба 1: А = 1, t = (Х + 2), P = 1 / (Х + 2)
Труба 2: А = 1, t = 3(Х + 2), P = 1 / 3(Х + 2)
Труба 3: А = 1, t = Х, P = 1 / Х
Вместе: А = 1, t = 3, P = 1 / 3
Зная, что совместная производительность равна 1/3, можно составить и решить уравнение: 1 / (Х + 2) + 1 / 3(Х + 2) + 1 / Х = 1 / 3. Решая это уравнение, получаем Х = 6 (часов) - время, которое понадобится третьей трубе для наполнения контейнера. Из этого следует, что время, которое понадобится первой трубе, равно (6 + 2) = 8 часов, а второй трубе - 24 часа.
Решение более сложных задач
Существуют еще более сложные задачи, где необходимо вводить несколько переменных. Например, рассмотрим следующее условие: специалист и стажер, работая вместе, сделали определенную работу за 12 дней. Если бы специалист сначала выполнил половину работы, а затем стажер закончил вторую половину, то на все было бы потрачено 25 дней.
а) Найдите время, которое мог бы потратить специалист на завершение всей работы, при условии, что он будет работать один и быстрее стажера.
б) Как поделить работникам полученные за совместное выполнение работы 15000 рублей?
1) Пусть специалист может выполнить всю работу за X дней, а стажер - за Y дней. За 1 день специалист выполняет 1/X работы, а стажер - 1/Y работы.
2) Из условия задачи известно, что совместная работа заняла 12 дней, поэтому получаем уравнение: 1/X + 1/Y = 1/12.
3) Также из условия известно, что работая по очереди, было затрачено 25 дней, что дает уравнение: X/2 + Y/2 = 25.
4) Подставляем второе уравнение в первое и решаем уравнение: (50 - х + х) / (х(х-50)) = 1/12. Получаем квадратное уравнение X^2 - 50X + 600 = 0, которое имеет корень X = 20 (Y = 30 не удовлетворяет условию).
Ответ: X = 20, Y = 30.
Деньги нужно делить пропорционально затраченному на выполнение работы времени. Так как специалист работал быстрее, его доля будет больше. Поделив полученную сумму в отношении 3:2, получаем, что специалисту достанется 9000 рублей, а стажеру - 6000 рублей.
Полезные советы
Если не понимаете условие задачи, не спешите решать ее. Внимательно прочитайте условие и выделите все известные и неизвестные данные. Используйте таблицы и схемы для упрощения понимания и решения задачи. Обратите внимание, что общая производительность равна сумме производительностей.
