Как решить квадратное уравнение: примеры
- Квадратное уравнение: типовой алгоритм решения
- Что такое квадратное уравнение?
- Поиск дискриминанта
- Решение уравнения
Квадратное уравнение: типовой алгоритм решения
Квадратное уравнение - особый вид примеров из школьной программы. На первый взгляд, они кажутся достаточно сложными, однако при ближайшем рассмотрении можно выяснить, что они имеют типовой алгоритм решения.
Что такое квадратное уравнение?
Квадратное уравнение - равенство, соответствующее формуле ax^2 + bx + c = 0. В этом уравнении x представляет собой корень, то есть значение переменной, при котором равенство обращается в верное; a, b и c - это числовые коэффициенты. При этом коэффициенты b и c могут иметь любое значение, включая положительные, отрицательные и нулевые; коэффициент a может быть только положительным или отрицательным, то есть не должен быть равен нулю.
Поиск дискриминанта
Решение уравнения такого типа включает в себя несколько типовых шагов. Рассмотрим его на примере уравнения 2x^2 - 8x + 6 = 0. Первоначально необходимо выяснить, сколько корней имеет уравнение. Для этого необходимо найти значение так называемого дискриминанта, которое вычисляется по формуле D = b^2 − 4ac. Все необходимые коэффициенты необходимо взять из первоначального равенства: таким образом, для рассматриваемого случая дискриминант будет рассчитываться как D = (-8)^2 - 4*2*6 = 16. Значение дискриминанта может быть положительным, отрицательным или нулевым. При положительном значении дискриминанта квадратное уравнение будет иметь два корня, как в данном примере. При нулевом значении этого показателя уравнение будет иметь один корень, а при отрицательном значении можно сделать вывод, что уравнение не имеет корней, то есть таких значений x, при которых равенство обращается в верное.
Решение уравнения
Дискриминант используется не только для выяснения вопроса о количестве корней, но и в процессе решения квадратного уравнения. Так, общая формула корня такого уравнения имеет вид x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a. В указанной формуле заметно, что выражение под корнем фактически и представляет собой дискриминант: таким образом, его можно упростить до x = (-b ± √D) / 2a. Отсюда становится понятно, почему уравнение такого вида имеет один корень при нулевом дискриминанте: строго говоря, в этом случае корней по-прежнему будет два, но они окажутся равны между собой. Для нашего примера следует использовать ранее найденное значение дискриминанта. Таким образом, первое значение x = (8 + 4) / 2*2 = 3, второе значение x = (8 - 4) / 2*4 = 1. Для проверки следует подставить найденные значения в первоначальное уравнение, убедившись, что в обоих случаях оно представляет собой верное равенство.