Как считать комплексные числа
Содержание:- Комплексные числа и их свойства
- Операции над комплексными числами
- 1. Равенство комплексных чисел
- 2. Сложение комплексных чисел
- 3. Вычитание комплексных чисел
- 4. Умножение комплексных чисел
- 5. Деление комплексных чисел
- 6. Модуль комплексного числа
Комплексные числа и их свойства
Комплексными числами называются числа вида z = a + bi, где a – действительная часть, обозначаемая Re z, b – мнимая часть, обозначаемая Im z, i – мнимая единица. Множество комплексных чисел представляет собой расширение множества действительных чисел и обозначается символом C.
Операции над комплексными числами
Над комплексными числами можно осуществлять те же арифметические операции, что и над действительными. Давайте разберемся, как выполнять различные операции с комплексными числами:
1. Равенство комплексных чисел
Комплексные числа x + yi и a + bi называются равными, если равны составляющие их части, т.е. x = a, y = b.
2. Сложение комплексных чисел
Для сложения двух комплексных чисел необходимо сложить их мнимые и действительные части соответственно, т.е. (x + yi) + (a + bi) = (x + a) + (y + b)i.
3. Вычитание комплексных чисел
Чтобы найти разность двух комплексных чисел, необходимо найти разность их мнимых и действительных частей, т.е. (x + yi) - (a + bi) = (x - a) + (y - b)i.
4. Умножение комплексных чисел
При умножении комплексных чисел, составляющие их части перемножаются между собой, т.е. (x + yi) * (a + bi) = (xa + yai + xbi + ybi) = (xa – yb) + (xb + ya)i.
5. Деление комплексных чисел
Деление комплексных чисел осуществляется по следующему правилу (x + yi) / (a + bi) = [(xa + yb) / (a^2 + b^2)] + [(xb - ya) / (a^2 + b^2)]i.
6. Модуль комплексного числа
Модуль комплексного числа определяет длину вектора на комплексной плоскости и находится по формуле | x + yi | = √(x^2 + y^2).
Таким образом, комплексные числа открывают перед нами новые возможности в математике и позволяют решать более сложные задачи. Понимание основных операций над комплексными числами является важным для успешного изучения более продвинутых математических концепций.