Как составить дифференциальное уравнение
- Начало изучения курса дифференциального исчисления
- Составление дифференциальных уравнений
- Вам понадобится: - ручка; - бумага.
- Примеры задач и решения
- Пример 1: Расчет изменения напряжения на выходе интегрирующей RC-цепи
- Пример 2: Уравнение гармонического осциллятора
Начало изучения курса дифференциального исчисления
Изучение курса дифференциального исчисления всегда начинается с составления дифференциальных уравнений. Прежде всего рассматривают несколько физических задач, при математическом решении которых неизбежно возникают производные различных порядков. Уравнения, которые содержат аргумент, искомую функцию и ее производные называют дифференциальными.
Составление дифференциальных уравнений
Вам понадобится: - ручка; - бумага.
В исходных физических задачах аргументом, чаще всего, является время t. Общий принцип составления дифференциального уравнения (ДУ) состоит в том, что на малых приращениях аргумента функции почти не меняются, что позволяет заменять приращения функции их дифференциалами. Если в постановке задачи речь зайдет о скорости изменения какого-либо параметра, то сразу следует писать производную параметра (со знаком минус, если некоторый параметр уменьшается).
Примеры задач и решения
Если в процессе рассуждений и выкладок возникли интегралы, их можно устранить дифференцированием. И наконец, в физических формулах производных и так более чем достаточно. Самое главное – рассмотреть как можно больше примеров, которые в процессе решения необходимо довести до стадии составления ДУ.
Пример 1: Расчет изменения напряжения на выходе интегрирующей RC-цепи
Пусть входное напряжение U(t), а искомое выходное u(t). Входное напряжение состоит из суммы выходного u(t) и падения напряжения на сопротивления R - Ur(t).
U(t) = Ur(t) + Uc(t); по закону Ома Ur(t) = i(t)R, i(t) = C(dUc/dt).
С другой стороны Uc(t) = u(t), а i(t) – ток цепи (в том числе и на емкости С). Значит i = C(du/dt), Ur = RC(du/dt).
Тогда баланс напряжений в электрической цепи можно переписать в виде:
U = RC(du/dt) + u.
Разрешая это уравнение относительно первой производной, получаем:
u’(t) = -(1/RC)u(t) + (1/RC)U(t).
Это ДУ первого порядка. Решением задачи будет его общее решение (неоднозначное). Для получения однозначного решения необходимо задать начальные условия (краевые) в виде u(0) = u0.
Пример 2: Уравнение гармонического осциллятора
Гармонический осциллятор (колебательный контур) – основной элемент радиопередающих и радиоприемных устройств. Это замкнутая электрическая цепь, содержащая параллельно соединенные емкость С (конденсатор) и индуктивность L (катушка). Известно, что токи и напряжения на таких реактивных элементах связаны равенствами Iс = C(dUc/dt) = CU’c, Ul = -L(dIl/dt) = -LI’l. Т.к. в этой задаче все напряжения и все токи одинаковы, то окончательно I’’ + (1/LC)I = 0.
Получено ДУ второго порядка.
