Как составить характеристическое уравнение
- Применение характеристических уравнений
- Решение нормальной однородной системы дифференциальных уравнений
- Вырожденная матрица и характеристическое уравнение
- Характеристическое уравнение ЛОДУ
- Связь характеристического уравнения и нормальной системы ЛОДУ
- Поиск собственных чисел линейных преобразований
Применение характеристических уравнений
Характеристические уравнения широко используются в математике, физике и технике. Они являются основой для вычисления собственных чисел (значений) и применяются в решении задач автоматического регулирования и систем дифференциальных уравнений.
Решение нормальной однородной системы дифференциальных уравнений
Для решения нормальной однородной системы дифференциальных уравнений (ЛОДУ) используются характеристические уравнения. Систему можно переписать в матричном виде в виде Y’=AY, где A - матрица коэффициентов, а Y - столбец неизвестных.
Вырожденная матрица и характеристическое уравнение
Для получения ненулевых решений нормальной однородной системы уравнений, характеристическое уравнение (А-kE)Y=0 должно иметь вырожденную матрицу, определитель которой равен нулю. Записывая определитель данной матрицы, получаем алгебраическое уравнение n-го порядка, называемое характеристическим. Решения этого уравнения позволяют составить фундаментальную систему решений исходной системы.
Характеристическое уравнение ЛОДУ
Для ЛОДУ n-го порядка, его характеристическое уравнение имеет вид k^n+(a1)k^(n-1)+…+a(n-1)k+an=0. Решение этого уравнения даёт нам информацию о фундаментальной системе решений ЛОДУ.
Связь характеристического уравнения и нормальной системы ЛОДУ
Переход от ЛОДУ n-го порядка к нормальной системе ЛОДУ путем последовательных подстановок позволяет убедиться, что характеристическое уравнение остается прежним. Записывая возникшую систему в виде определителя и раскрывая его, мы можем убедиться в том, что получилось характеристическое уравнение для ЛОДУ n-го порядка.
Поиск собственных чисел линейных преобразований
Задача поиска собственных чисел линейных преобразований (включая дифференциальные) сводится к составлению характеристического уравнения для квадратной матрицы. Записывая матрицу А в виде определителя и раскрывая его, мы можем получить ответ в виде характеристического уравнения.