Как составить уравнение эллипса

Содержание:

1. Каноническое уравнение эллипса: как его составить
2. Необходимые инструменты и шаги
3. Шаг 1: Задайте фокусы эллипса
4. Шаг 2: Нарисуйте оси и фокусы
5. Шаг 3: Составьте основное уравнение эллипса
6. Шаг 4: Используйте теорему Пифагора
7. Шаг 5: Перейдите к каноническому уравнению
8. Шаг 6: Приведите подобные члены и вынесите общий множитель
9. Шаг 7: Получите каноническое уравнение

Каноническое уравнение эллипса: как его составить

Каноническое уравнение эллипса является основным уравнением, которое позволяет определить геометрическую форму эллипса на плоскости. Оно составляется исходя из того факта, что сумма расстояний от любой точки эллипса до двух его фокусов всегда постоянна.

Необходимые инструменты и шаги

Чтобы составить каноническое уравнение эллипса, вам понадобятся лист бумаги и шариковая ручка. Следуйте следующим шагам:

Шаг 1: Задайте фокусы эллипса

На плоскости задайте две фиксированные точки F1 и F2. Расстояние между этими двумя точками должно быть равно фиксированному значению, которое обозначим как 2с.

Шаг 2: Нарисуйте оси и фокусы

На листе бумаги нарисуйте прямую, которая будет являться координатной прямой оси абсцисс. Обозначьте на этой прямой точки F2 и F1, которые и будут фокусами эллипса. Расстояние от каждого фокуса до начала координат должно быть равным значению c.

Шаг 3: Составьте основное уравнение эллипса

Нарисуйте ось ординат, чтобы создать декартову систему координат. Напишите основное уравнение, которое задает эллипс: F1M + F2M = 2a. Здесь точка М обозначает текущую точку эллипса.

Шаг 4: Используйте теорему Пифагора

Определите величину отрезков F1M и F2M с помощью теоремы Пифагора. Учтите, что точка М имеет координаты (x, y) относительно начала координат, а относительно точки F1 координаты точки М будут (x+c, y), где «иксовая» координата сдвигается на величину c. В соответствии с теоремой Пифагора, одно из слагаемых должно быть равно квадрату величины (x+c) или (x-c).

Шаг 5: Перейдите к каноническому уравнению

Подставьте выражения для модулей векторов F1M и F2M в основное уравнение эллипса, затем возведите обе части уравнения в квадрат, перемещая один из квадратных корней в правую часть уравнения и раскрывая скобки. После сокращения одинаковых членов, разделите полученное соотношение на 4a и возведите во вторую степень.

Шаг 6: Приведите подобные члены и вынесите общий множитель

Приведите подобные члены и соберите слагаемые с одним и тем же множителем квадрата «иксовой» переменной. Вынесите за скобку квадрат «иксовой» переменной.

Шаг 7: Получите каноническое уравнение

Обозначьте за квадрат некоторой величины b разность квадратов величин a и c. Разделите полученное выражение на квадрат этой новой величины. Таким образом, вы получите каноническое уравнение эллипса, в котором сумма квадратов координат, деленных на величины осей, равна единице.

Теперь, используя эти шаги, вы можете составить каноническое уравнение эллипса и определить его форму на плоскости.