Как умножить вектор на матрицу
- Умножение векторов на матрицы в теории матриц
- Особенности умножения векторов на матрицы
- Некоммутативность умножения матриц
- Произведение вектор-строки на матрицу
- Произведение матрицы на вектор-столбец
- Внутреннее произведение вектор-строки и вектор-столбца
- Внешнее произведение вектор-столбца и вектор-строки
Умножение векторов на матрицы в теории матриц
В теории матриц вектором называется матрица, имеющая только один столбец или только одну строку. Умножение такого вектора на другую матрицу происходит по общим правилам, однако имеет и свои особенности.
Особенности умножения векторов на матрицы
Вектор-строку можно умножить только на матрицу, в которой столько же строк, сколько элементов в вектор-строке. Аналогично, вектор-столбец можно умножить только на матрицу, в которой столько же столбцов, сколько элементов в вектор-столбце.
Некоммутативность умножения матриц
Умножение матриц некоммутативно, то есть если A и B — матрицы, то A*B ≠ B*A. Более того, существование произведения A*B вовсе не гарантирует существования произведения B*A. Например, если матрица A имеет размеры 3*4, а матрица B — 4*5, то произведение A*B — матрица размером 3*5, а B*A не определено.
Произведение вектор-строки на матрицу
Пусть задан: вектор-строка A = [a1, a2, a3 … an] и матрица B размерности n*m, элементы которой равны:[b11, b12, b13, … b1m;b21, b22, b23, … b2m;…bn1, bn2, bn3, … bnm]. Тогда произведение A*B будет вектор-строкой размерности 1*m, причем каждый элемент ее равен:Cj = ∑ai*bij (i = 1 … n, j = 1 … m). Иными словами, для нахождения i-того элемента произведения нужно умножить каждый элемент вектора-строки на соответствующий ему по порядку элемент i-того столбца матрицы и просуммировать эти произведения.
Произведение матрицы на вектор-столбец
Аналогично, если задана матрица A размерности m*n и вектор-столбец B размерности n*1, то их произведение будет вектором-столбцом размерности m*1, i-тый элемент которого равен сумме произведений элементов вектора-столбца B на соответствующие им элементы i-той строки матрицы A.
Внутреннее произведение вектор-строки и вектор-столбца
Если A — вектор-строка размерности 1*n, а B — вектор-столбец размерности n*1, то произведение A*B является числом, равным сумме произведений соответствующих элементов этих векторов: c = ∑ai*bi (i = 1 … n). Это число называется скалярным, или внутренним, произведением.
Внешнее произведение вектор-столбца и вектор-строки
Результат умножения B*A в этом случае является квадратной матрицей размерности n*n. Ее элементы равняются: Cij = ai*bj (i = 1 … n, j = 1 … n). Такая матрица называется внешним произведением векторов.
