Главная Войти О сайте

Как умножить вектор на матрицу

В теории матриц вектором называется матрица, имеющая только один столбец или только одну строку. Умножение такого вектора на другую матрицу происходит по общим правилам, однако имеет и свои особенности.Как умножить вектор на матрицу

По определению произведения матриц умножение возможно только в том случае, если количество столбцов первого множителя равно количеству строк второго. Следовательно, вектор-строку удастся умножить только на матрицу, в которой столько же строк, сколько элементов в вектор-строке. Аналогично, вектор-столбец можно умножить только на матрицу, в которой столько же столбцов, сколько элементов в вектор-столбце.

Умножение матрицнекоммутативно, то есть если A и B — матрицы, то A*B ≠ B*A. Более того, существование произведения A*B вовсе не гарантирует существования произведения B*A. Например, если матрица A имеет размеры 3*4, а матрица B — 4*5, то произведение A*B — матрица размером 3*5, а B*A не определено.

Пусть задан: вектор-строка A = [a1, a2, a3 … an] и матрица B размерности n*m, элементы которой равны:
[b11, b12, b13, … b1m;
b21, b22, b23, … b2m;

bn1, bn2, bn3, … bnm].

Тогда произведение A*B будет вектор-строкой размерности 1*m, причем каждый элемент ее равен:

Cj = ∑ai*bij (i = 1 … n, j = 1 … m).

Иными словами, для нахождения i-того элемента произведения нужно умножить каждый элемент вектора-строки на соответствующий ему по порядку элемент i-того столбца матрицы и просуммировать эти произведения.

Аналогично, если задана матрица A размерности m*n и вектор-столбец B размерности n*1, то их произведение будет вектором-столбцом размерности m*1, i-тый элемент которого равен сумме произведений элементов вектора-столбца B на соответствующие им элементы i-той строки матрицы A.

Если A — вектор-строка размерности 1*n, а B — вектор-столбец размерности n*1, то произведение A*B является числом, равным сумме произведений соответствующих элементов этих векторов:

c = ∑ai*bi (i = 1 … n).

Это число называется скалярным, или внутренним, произведением.

Результат умножения B*A в этом случае является квадратной матрицей размерности n*n. Ее элементы равняются:

Cij = ai*bj (i = 1 … n, j = 1 … n).

Такая матрица называется внешним произведением векторов.


CompleteRepair.Ru