Как узнать радиус кривизны
- Определение радиуса кривизны
- Определение кривизны
- Радиус кривизны и окружность
- Условия окружности
- Вычисление радиуса кривизны
- Исключительные случаи
- Центр кривизны и эволюта
Определение радиуса кривизны
Пусть задана функция, определенная уравнением y = f(x) и соответствующим графиком. Наша задача заключается в нахождении радиуса ее кривизны, то есть измерении степени искривленности графика этой функции в некоторой точке x0.
Определение кривизны
Кривизна любой линии определяется скоростью поворота ее касательной в точке x при движении этой точки по кривой. Тангенс угла наклона касательной равен значению производной от f(x) в этой точке, поэтому скорость изменения этого угла зависит от второй производной.
Радиус кривизны и окружность
Для измерения кривизны удобно использовать окружность, так как она равномерно искривлена на всем своем протяжении. Радиус такой окружности является мерой ее кривизны. Аналогично, радиусом кривизны заданной линии в точке x0 называется радиус окружности, которая наиболее точно измеряет степень ее искривленности в этой точке.
Условия окружности
Требуемая окружность должна соприкасаться с заданной кривой в точке x0, то есть располагаться со стороны ее вогнутости так, чтобы касательная к кривой в этой точке была также касательной к окружности. Для этого необходимо, чтобы выполнялись равенства: F(x0) = f(x0) и F′(x0) = f′(x0). Существует бесконечное количество таких окружностей, но для измерения кривизны необходимо выбрать ту, которая наиболее точно соответствует заданной кривой в этой точке. Кроме того, к этим двум равенствам необходимо добавить третье: F′′(x0) = f′′(x0), так как кривизна измеряется второй производной.
Вычисление радиуса кривизны
Исходя из этих соотношений, радиус кривизны вычисляется по формуле: R = ((1 + f′(x0)^2)^(3/2))/(|f′′(x0)|). Величина, обратная радиусу кривизны, называется кривизной линии в данной точке.
Исключительные случаи
Если f′′(x0) = 0, то радиус кривизны равен бесконечности, то есть линия в этой точке не искривлена. Это всегда верно для прямых, а также для любых линий в точках перегиба. Кривизна в таких точках равна нулю.
Центр кривизны и эволюта
Центр окружности, измеряющей кривизну линии в заданной точке, называется центром кривизны. Линия, являющаяся геометрическим местом для всех центров кривизны заданной линии, называется ее эволютой.
