Кривизна любой линии определяется скоростью поворота ее касательной в точке x при движении этой точки по кривой. Поскольку тангенс угла наклона касательной равен значению производной от f(x) в этой точке, то скорость изменения этого угла должна зависеть от второй производной.
Эталоном кривизны логично принять окружность, поскольку она равномерно искривлена на всем своем протяжении. Радиус такой окружности есть мера ее кривизны.
По аналогии, радиусом кривизны заданной линии в точке x0 называется радиус окружности, которая наиболее точно измеряет степень ее искривленности в этой точке.
Требуемая окружность должна соприкасаться с заданной кривой в точке x0, то есть располагаться со стороны ее вогнутости так, чтобы касательная к кривой в этой точке была также и касательной к окружности. Это значит, что если F(x) — уравнение окружности, то должны выполняться равенства:
F(x0) = f(x0),
F′(x0) = f′(x0).
Таких окружностей, очевидно, существует бесконечно много. Но для измерения кривизны необходимо выбрать ту, которая наиболее точно соответствует заданной кривой в этой точке. Поскольку кривизна измеряется второй производной, то к этим двум равенствам необходимо добавить еще и третье:
F′′(x0) = f′′(x0).
Исходя из этих соотношений, радиус кривизны вычисляется по формуле:
R = ((1 + f′(x0)^2)^(3/2))/(|f′′(x0)|).
Величина, обратная радиусу кривизны, называется кривизной линии в данной точке.
Если f′′(x0) = 0, то радиус кривизны равен бесконечности, то есть линия в этой точке не искривлена. Это всегда верно для прямых, а также для любых линий в точках перегиба. Кривизна в таких точках, соответственно, равна нулю.
Центр окружности, измеряющей кривизну линии в заданной точке, называется центром кривизны. Линия, являющаяся геометрическим местом для всех центров кривизны заданной линии, называется ее эволютой.
