Главная Войти О сайте

Как вписать треугольник в круг

Если все вершины треугольника лежат на одной окружности, то в этом случае он называется вписанным, а окружность, соответственно — описанной вокруг него. Построить треугольник на известной окружности очень просто, но как вписать треугольник в круг, если изначально существует именно он?Как вписать треугольник в кругВам понадобится

Для любого треугольника всегда возможно построить описанную окружность, поскольку эта кривая однозначно определяется тремя заданными точками.

Чтобы это обнаружить, достаточно предположить, что треугольник задан декартовыми координатами своих вершин. В этом случае радиус и координаты центра окружности, проходящей через все три точки, должны быть решениями системы из трех уравнений второй степени с тремя неизвестными.

Эта система будет иметь единственное решение в том случае, если заданные точки не лежат на одной прямой (в этом последнем случае она вовсе не имеет решений). Но три точки, лежащие на одной прямой, не могут быть вершинами треугольника, следовательно, этот случай можно даже не рассматривать. Итак, решение заведомо существует.

Чтобы треугольник был вписан в окружность, очевидно, требуется, чтобы ее центр находился на равном расстоянии от всех трех его вершин. Задача, таким образом, сводится к нахождению центра описанной окружности.

Сторона вписанного треугольника будет являться хордой описанной окружности. Для любой такой хорды существует перпендикулярный к ней радиус, причем точка их пересечения делит хорду ровно пополам.

Следовательно, любой срединный перпендикуляр треугольника (то есть прямая, проходящая через середину его стороны и перпендикулярная ей) проходит через центр описанной окружности. Достаточно провести два таких перпендикуляра, и точка их пересечения будет центром. Радиус же описанной окружности однозначно определяется расстоянием до любой из вершин.

Процедура деления отрезка пополам циркулем и линейкой представляет собой, по сути, построение срединного перпендикуляра. Таким образом, задача нахождения центра описанной окружности сводится к делению циркулем и линейкой двух сторон треугольника.

Если заданный треугольник — прямоугольный, то центр описанной окружности совпадает с серединой его гипотенузы.


CompleteRepair.Ru